第41讲 直线、平面垂直的判定及其性质 （原卷版） 考点 内容解读 要求 常考题型 直线、平面垂直的判定及其性质 掌握直线、平面垂直的判定方法，会判断直线、平面的垂直关系。 Ⅰ 选择题、填空题 理解直线、平面垂直的性质，并能够证明相应的垂直关系 Ⅱ 解答题 知识要点梳理 1．直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法． ②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线 ，则这条直线与这个平面垂直． ③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也 这个平面． (2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内 直线． ②垂直于同一个平面的两条直线 ． ③垂直于同一直线的两平面平行． 2．斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的 ，叫斜线和平面所成的角． 3．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法 ②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相 ． (2)平面与平面垂直的性质 如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 于另一个平面． 4 ．方法总结 (1)证明线线垂直的方法 ①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a⊥α，b?α? ； ④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α? ． (2)证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直?a⊥α； ②判定定理1：? ； ③判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α； ④面面平行的性质：α∥β，a⊥α?a⊥β； ⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l? ． (3)证明面面垂直的方法 ①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β ． 考向一 直线与平面垂直的判定与性质 例1：如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD ． 证明：AD⊥平面PAC ． 【证明】∵∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1 ． ∴∠DAC＝90°，即AD⊥AC， 又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD， ∴PO⊥AD，而AC∩PO＝O， ∴AD⊥平面PAC ． 类题通解 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α?b⊥α；③α∥β，a⊥α?a⊥β；④面面垂直的性质． (2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直． 变式训练 1．如图，已知BD⊥平面ABC，MC∥=BD，AC＝BC，N是棱AB的中点．求证：CN⊥AD ． 考点二 平面与平面垂直的判定与性质 例2：如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 ．M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD ． 【证明】 在△ABD中，由于AD＝4，BD＝8，AB＝4， 所以AD2＋BD2＝AB2 ．故AD⊥BD ． 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD?平面ABCD， 所以BD⊥平面PAD ． 又BD?平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD ． 类题通解 面面垂直的关键是线面垂直，线面垂直的证明方法主要有：判定定理法、平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法，本题就是用的面面垂直性质定理法，这种方法是证明线面垂直、作线面角、二面角的一种核心方法． 变式训练 1．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点． 考点三 平行与垂直关系的综合应用 例3：如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD ． 【证明】(1)在△ABD中，因为E、F分别是AB、BD的中点， 所以EF∥AD ． 又AD?平面ACD，EF?平面ACD， 所以直线EF∥平面ACD ． (2)在△ABD中， 因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD ． 在△BCD中，因为CD＝CB，F为BD的中点，所以CF⊥BD ． 因 ... ...
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