第20讲 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式（原卷版） 考点 内容解读 要求 常考题型 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式和两角和的余弦公式. Ⅰ 选择题，填空题，大题 2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征 熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征 Ⅱ 选择题，填空题，大题 3.化简和求值 能灵活运用公式进行化简和求值. Ⅱ 选择题，填空题，大题 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α－β)：cos(α－β)＝ (2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝ (3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝ (4)S(α－β)：sin(α－β)＝ (5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝ (6)T(α－β)：tan(α－β)＝ 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α：sin 2α＝ (2)C2α：cos 2α＝ (3)T2α：tan 2α＝ 3．常用的公式变形 (1)tan α±tan β＝ (2)cos2α＝ ，sin2α＝ ； (3)1＋sin 2α＝ 1－sin 2α＝ sin α±cos α＝ 4．两角和与差的三角函数公式的理解 (1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号． (2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”． (3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现． 5．重视三角函数的“三变” “三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 考点一、三角函数式的化简求值 例1：(1)cos 105°； (2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°； (3)sin -cos； (4). 【答案】(1)原式=cos(60°+45°)=cos 60°cos 45°-sin 60°sin 45°=×-×=. (2)原式=sin 14°cos 16°+sin(90°-14°)cos(90°-16°)=sin 14°cos 16°+cos 14°sin 16° =sin(14°+16°)=sin 30°=. (3)法一： 原式=2（sin -cos）=2（sin sin -cos cos ） =-2cos（+）=-2cos =-. 方法二 原式=2（sin -cos ）=2（cos sin -sin cos ） =2sin（-）=-2sin =-. (4)原式==tan(45°+75°)=tan 120°=-. 【解析】(1)将105°转化为两个特殊角的和或差，直接利用公式求解. (2)先利用诱导公式统一角度再逆用两角和的正弦公式求解. (3)提取2后将，写成某个特殊角的正、余弦，逆用公式求解. (4)注意“1”的转化，逆用两角和的正切公式求解. 类题通法 1．三角函数式的化简与求值主要是诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和差的正余弦、正切公式的正用、逆用和变形用，观察式子结构特点选取合适公式是解题的关键.转化过程中注意“1”与“tan ”、“ ”与“tan ”、“ ”与“cos ”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化. 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的． 一点注意 三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施． 2．两个技巧 （1）拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，＝－. （2）化简技巧：切化弦，“1”的代换等． ?3．三种变化 （1）变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系． （2）变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等． （3）变式 ... ...
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