第15讲 定积分与微积分基本定理 （原卷版） 考点 考纲要求 要求 常考题型 定积分的计算 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． I 选择题、填空题 定积分几何意义的应用 了解定积分的几何意义 I 选择题、填空题 定积分在物理上的应用 了解定积分基本定理的含义 I 选择题、填空题 1．定积分的相关概念 在中， 与 分别叫做积分下限与积分上限，区间 叫做积分区间，函数 叫做被积函数， 叫做积分变量， 叫做被积式． 2．定积分的性质 （1）(k为常数)； （2）； （3）(其中a＜c＜b)． 3．定积分的几何意义 如图： 设阴影部分面积为S. （1）； （2）； （3）； （4）. 4．微积分基本定理 一般地，如果f (x)是区间[a,b]上的连续函数，且F′(x)=f (x)，那么= ．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F(x)叫做f (x)的一个原函数．为了方便，我们常把F(b)?F(a)记作，即= ． 5．定积分在物理中的应用 (1)变速直线运动问题 如果作变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为s； (2)变力做功问题 一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s ,则力F所做的功为W=Fs.如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b，则变力F(x)做的功. 题型一 定积分的计算 例1：已知 ＝ ＝1， ＝ ，求下列定积分： （1） ； （2） . 【答案】（1）解： ?= + =2 （2）解： ?= 【解析】 (1)由定积分的运算法则直接求解; (2)由定积分的运算法则及微积分定理求解. 类题通法 变式训练 1．定积分等于(?? ) A.?????????????????????????????B.??????????????????????????C.?????????????????????????????????D.? 2． （??? ） A.??????????????????????????B.?????????????????????????C.????????????????????????????D.? 题型二 定积分几何意义的应用 考向一 根据条件求面积 例2：(2018·湖南衡阳十校联考)直线y＝4x与曲线y＝x2围成的封闭区域面积为_____． 【解析】联立方程组，解得或， ∴S＝＝(2x2－)＝. 【答案】 考向二 已知图形面积求参数 例3：曲线f(x)＝与y轴及直线y＝m(m＞0)围成的图形的面积为，则m的值为 _____ . 【解析】S＝＝＝m3－m3＝，所以m＝2. 【答案】 2 类题通法 1．画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； 2．借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； 3．把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； 4．计算定积分，写出答案． 变式训练 1．若a＞0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝_____. 2．(2018·青岛月考)由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为 _____ . 题型三 定积分在物理上的应用 例4：(湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A．1＋25ln 5 B．8＋25ln C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2 【解析】 令v(t)＝0得，3t2－4t－32＝0解得t＝4. 汽车的刹车距离是＝＝4＋25ln 5.故选C. 【答案】C 类题通法 (1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝. (2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝ 变式训练 1．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为( ) A. J B. J C. J D．2 J 1．(2018·湖南长沙二模)若＝18，则a＝( ) A．1 B．2 ... ...
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