高考一轮复习学案 第17讲 同角三角函数基本关系及诱导公式（原卷+解析卷）

第17讲 同角三角函数基本关系 及诱导公式（原卷版） 考点 考纲要求 要求 常考题型 同角三角函数关系式的应用 理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α． II 选择题，填空题 诱导公式的应用 能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式 II 选择题，填空题 巧用诱导公式 灵活运用诱导公式 II 选择题，填空题 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：　 　． (2)商数关系：　 ．　 2．三角函数的诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋ α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α 余弦 cos α 正切 tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变符号看象限 记忆 规律 奇变偶不变，符号看象限 题型一　同角三角函数关系式的应用 考向一　知弦求弦 例1：已知 sin＝，α∈，则sin(π＋α)等于(　　) A．　　 B．－　　 C．　　 D．－ 【解析】因为sin＝，α∈，所以cos α＝，所以sin α＝， 所以sin(π＋α)＝－sin α＝－． 【答案】D 考向二　知弦求切 例2：(2018·辽宁省五校高三联考)已知cos＝，且α∈，则tan α＝(　　) A． B． C．－ D．± 【解析】　因为cos＝，所以sin α＝－， 显然α在第三象限，所以cos α＝－，故tan α＝． 【答案】　B 考向三　知切求弦 例3：若α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为　_____　． 【解析】由tan α＝－，得sin α＝－cos α，将其代入sin2α＋cos2α＝1， 得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cos α＜0， ∴cos α＝－，sin α＝，故sin α＋cos α＝－． 【答案】　－ 考向四　巧用sin2α＋cos2α＝1． 例4：sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝_____． 【解析】原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋＝1＋1＋1＋…＋＋＝44． 【答案】44 考向五　sin α、cos α的齐次式的应用 例5：已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 【解析】依题意得：＝5，∴tan α＝2． ∴sin2α－sin αcos α＝＝＝＝． 【答案】D 考向六　sin α±cos α关系式的应用 例6：已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝． (1)求tan α的值； (2)把用tan α表示出来，并求其值． 【解析】(1)法一：联立方程 由①得cos α＝－sin α，将其代入②，整理得25sin2α－5sin α－12＝0． ∵α是三角形内角，∴∴tan α＝－． 法二：∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝2， 即1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝－， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝． ∵sin αcos α＝－＜0且0＜α＜π， ∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0．∴sin α－cos α＝． 由得∴tan α＝－． (2)＝＝＝． ∵tan α＝－，∴＝＝＝－． 类题通法 技巧 解读 适合题型 切弦互化 主要利用公式tan θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan θ化成正切 表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ “1”的变换 1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝(sin θ±cos θ)2?2sin θcos θ 表达式中需要利用“1”转化 和积转换 利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化 表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ 变式训练 1．(福建高考)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α 的值等于(　　) A． B．－ C． D．－ 2．已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α等于(　　) A．－1 B．－ C． D．1 3．化简：(1＋tan2α)(1－sin2α)＝　_____　． 题型二　诱导公式的应用 例7：(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝_____ ... ...