活页作业(一) 不等式的性质 一、选择题 1．若2－m与|m|－3异号，则实数m的取值范围是( ) A．(3，＋∞) B．(－3,3) C．(2,3) D．(－3,2)∪(3，＋∞) 解析：法一 因为2－m与|m|－3异号，所以(2－m)·(|m|－ 3)＜0，即(m－2)(|m|－3)＞0. 所以或解得 m＞3或0≤m＜2或－3＜m＜0. 法二 取m＝4符合题意，排除B，C两项；取m＝0可排除A项． 答案：D 2．给出下列命题： ①若a＞b且a，b同号，则＜； ②若＞1，则0＜a＜1； ③a≥b且ac≥bc?c≥0； ④若a＞b，n∈N＋?a2n－1＞b2n－1. 其中真命题个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：①正确．因为ab＞0，a＞b，所以＞，即 ＞. ②显然成立． ③错误．因为ac≥bc，即(a－b)c≥0， 而a≥b，当a＝b时，c∈R. ④正确．因为n∈N＋，2n－1为奇数，条件可放宽， 即a＞b，则得a2n－1＞b2n－1. 答案：C 3．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论： ①＞；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)． 其中，正确结论的序号是( ) A．① B．①② C．②③ D．①②③ 解析：由a＞b＞1，c＜0，得＜，＞. 由幂函数y＝xc(c＜0)是减函数，得ac＜bc. 因为a－c＞b－c， 所以logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)． 故①②③均正确． 答案：D 4．若a＜0，－1＜b＜0，则有( ) A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a 解析：∵a＜0，－1＜b＜0， ∴ab＞0，b－1＜0,1－b＞0,0＜b2＜1. ∴1－b2＞0，ab－a＝a(b－1)＞0.∴ab＞a. ∵ab－ab2＝ab(1－b)＞0，∴ab＞ab2. ∵a－ab2＝a(1－b2)＜0，∴a＜ab2. 故ab＞ab2＞a. 答案：D 二、填空题 5．把下列各题中的“＝”全部改成“＜”，结论仍然成立的是_____. ①如果a＝b，c＝d，那么a－c＝b－d； ②如果a＝b，c＝d，那么ac＝bd； ③如果a＝b，c＝d，且cd≠0，那么＝； ④如果a＝b，那么a3＝b3. 解析：因为幂函数y＝x3在R上是增加的，所以④成立． 答案：④ 6．lg(x2＋1)与lg x(x＞0)的大小关系是_____. 解析：lg(x2＋1)－lg x＝lg＝lg. ∵x＞0，∴x＋≥2＞1. ∴lg＞0，即lg(x2＋1)＞lg x. 答案：lg(x2＋1)＞lg x 三、解答题 7．已知a，b，x，y都是正数，且＞，x＞y. 求证：＞. 证明：因为a，b，x，y都是正数，且＞，x＞y， 所以＞.所以＜. 故＋1＜＋1，即0＜＜. 所以＞. 8．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．若同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变差了？ 解：设窗户面积为n，地板面积为m，则≤＜1. 设增加的窗户面积和地板面积均为t， 由＜1.得m＞n. ∴mt＞nt. ∴mt＋mn＞nt＋mn，即m(n＋t)＞n(m＋t)． ∴＞，即采光条件变好了． 一、选择题 1．若a＞b＞0，则下列不等式恒成立的是( ) A．＞ B．＞ C．a＋＞b＋ D．aa＞bb 解析：选取适当的特殊值，若a＝2，b＝1，可知＝，＝2.由此可知选项A不成立．由不等式的基本性质，可知当a＞b＞0时，＜.由此可知选项C不恒成立．取a＝，b＝，则a＞b＞0，但aa＝bb.故选项D不恒成立． 答案：B 2．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是( ) A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y| 解析：因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以3x＞x＋y＋z＝0,3z＜x＋y＋z＝0.所以x＞0，z＜0.由可得xy＞xz. 答案：C 二、填空题 3．若0＜x＜，则2x与3sin x的大小关系是否确定？_____(选填“是”或“否”)． 解析：令f(x)＝2x－3sin x，则f′(x)＝2－3cos x. 当cos x＜时，f′(x)＞0；当cos x＝时，f′(x)＝0；当cos x＞时，f′(x)＜0.所以当0＜x＜时，函数f(x)先减后增．而f(0)＝0，f＝π－3＞0，故函数f(x) 的值与0的关系与x取值有关，即2x与 ... ...
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