第一章 2.1 2.1.1 合情推理 A级 基础巩固 一、选择题 1．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{an}，则下列结论正确的是( D ) ①a5＝15； ②数列{an}是一个等差数列； ③数列{an}是一个等比数列； ④数列{an}的递推关系是an＝an－1＋n(n∈N*)． A．①②④ B．①③④ C．①② D．①④ [解析] 由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4．因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正确．同时④正确，而{an}显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D． 2．(2018·潍坊高二检测)已知a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，则数列{an}的一个通项公式为an＝( B ) A． B． C． D． 3．平面内平行于同一直线的两条直线平行，由此类比到空间中可以得到( D ) A．空间中平行于同一直线的两条直线平行 B．空间中平行于同一平面的两条直线平行 C．空间中平行于同一直线的两个平面平行 D．空间中平行于同一平面的两个平面平行 4．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排下去，那么第36颗珠子的颜色是( A ) A．白色 B．黑色 C．白色的可能性较大 D．黑色的可能性较大 5．(2018·郑州高二检测)下面使用类比推理，得出的结论正确的是( C ) A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b” B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc” C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn” 6．(2017·长春三模)设n∈N＋，则＝( A ) A．33… B．33… C．33… D．33… [解析] ＝ ＝＝＝33…个． 故选A． 二、填空题 7．(2018·聊城模拟)高三某班一学习小组的A、B、C、D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球．以上命题都是真命题，那么D在画画． [解析] ∵以上命题都是真命题， ∴对应的情况是： 打篮球 画画 跳舞 散步 A × × B × × C × × D × × 则由表格知A在跳舞，B在打篮球， 篮球 画画 跳舞 散步 A × √ × B √ × × C × × D × × ∵③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件， ∴C在散步， 则D在画画， 故答案为画画． 8．观察下列等式： (1＋1)＝2×1； (2＋1)(2＋2)＝22×1×3； (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5； …… 照此规律，第n个等式可为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)． [解析] 观察规律，等号左侧第n个等式共有n项相乘，从n＋1到n＋n，等式右端是2n与等差数列{2n－1}前n项的乘积，故第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)． 三、解答题 9．(2018·德州高二检测)在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，写出△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系． [解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S＝S△OBC·S△DBC． 证明如下：如图，设直线OD与BC相交于点E， ∵AD⊥平面ABE， ∴AD⊥AE，AD⊥BC， 又∵AO⊥平面BCD， ∴AO⊥DE，AO⊥BC． ∵AD∩AO＝A， ∴BC⊥平面AED， ∴BC⊥AE，BC⊥DE． ∴S△ABC＝BC·AE，S△BOC＝BC·OE， S△BCD＝BC·DE． 在Rt△ADE中，由射影定理知AE2＝OE·DE，∴S ... ...
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