高考数学一轮复习学案 第68讲 绝对值不等式（原卷版+解析版）

第68讲　绝对值不等式（原卷版） 考点 内容解读 要求 常考题型 1．绝对值不等式的定义 理解绝对值不等式的定义 Ⅰ 大题 2．绝对值不等式的定理和推论 掌握绝对值不等式的定理和推论，会用绝对值不等式的定理和推论解决绝对值不等式的有关证明问题 Ⅱ 大题 一、绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 时，等号成立。 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－b|≤|a－c|＋|c－b|，当且仅当 时，等号成立。 (1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集： 不等式 a＞0 a＝0 a＜0 |x|＜a |x|＞a (2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c。 二、绝对值不等式的解法 1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离） 2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1） ； （2） ：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3） ：通常适用于两端均为非负实数时（比如）； （4） ； （5） ：即 3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。 二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。 4、 利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。 5、解一元二次不等式的步骤： （1）将不等式化为标准形式或 （2）解方程 （3）据二次函数的图象写出二次不等式的解集。 与型的不等式的解法。 当时，不等式的解集是 不等式的解集是; 当时，不等式的解集是 不等式的解集是; （4）与型的不等式的解法。 把 看作一个整体时，可化为与型的不等式来求解。 当时，不等式的解集是 不等式的解集是; 当时，不等式的解集是 不等式的解集是; 考点一、含绝对值的不等式的解法 例1：解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5。 【解析】解法一：不等式的几何意义　如图，设数轴上与－2，1对应的点分别是A，B， 则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数。 显然，区间[－2,1]不是不等式的解集。把A向左移动一个单位到点A1， 此时A1A＋A1B＝1＋4＝5。把点B向右移动一个单位到点B1， 此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)。 解法二：零点分段　原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5?或 或解得x≥2或x≤－3， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)。 解法三：构造函数　将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0。 令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则f(x)＝作出函数的图象，如图所示。 由图象可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)。 【答案】(－∞，－3]∪[2，＋∞) 例2：已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|。 (1)画出y＝f(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|>1的解集。 【解析】　(1)f(x)＝y＝f(x)的图象如图所示。 (2)由f(x)的表达式及图象知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3； 当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5。 故f(x)>1的解集为{x|15}。 所以|f(x)|>1的解集为{x|x<或15}。 【答案】　(1)见解析　(2){x|x<或15} 类题通法 将参数方程化普通方程方法：（基本思想是消参） (1)代入消参法； (2)代数变换法（＋，－，×，÷，乘方） (3)三角消参法 注意：参数取值范围对取值范围的限制．(参数方程与普通方程的等价性） 变式训练 1．解不等式 考点二、含绝对值的不等式的证明 例3：设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M。 【解析】　(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝ 由－2<－2x－1<0，解得－