第69讲 不等式的证明（原卷版） 考点 内容解读 要求 常考题型 1．不等式的不同证明方法 掌握并灵活运用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式 Ⅰ 选择题，大题 2．数形结合 对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法加以证明 Ⅱ 选择题，大题 一、不等式的证明方法： 1．均值定理：a+b≥2； ab≤（）2（a、b∈R+）， 当且仅当a=b时取等号． 2．比较法：a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b． 3．作商法：a＞0，b＞0，＞1a＞b． 特别提示 （1）比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法．作差后需要判断 ，作差变形的方向常常是因式分解后，把差写成积的形式或配成完全平方式． （2）比商法要注意使用条件，若＞1不能推出a＞b．这里要注意a、b两数的符号． 4．利用定理和推论 定理：如果，那么（当且仅当时取“=”） 推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”） 5．用综合法证明不等式：利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法，概括为“ ”． 6．用分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“ ”． 分析法的书写格式： 要证明命题B为真， 只需要证明命题为 ，从而有…… 这只需要证明命题为 ，从而又有…… …… 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故命题B必为 7．放缩法证明不等式． 常用的放大缩小的结论： 8．利用单调性证明不等式． 9．构造一元二次方程利用 证明不等式． 10．数形结合法证明不等式． 11．反证法、换元法等． 12．三角换元： 若0≤x≤1，则可令x = 或x = 若，则可令x = cos( , y = 若，则可令x = sec(, y = 若x≥1，则可令x = 若x(R，则可令x = 考点一、比较法 例1：已知均为正实数，且，求证： 【答案】 因为，所以 故，所以 【解析】用作差法证明 例2：设求证： 【答案】因为，所以 而，故 注：作商比较只适用于不等式两边同号时的比较。 【解析】对于含有幂指数类的用作商法 类题通法 1．用比较法证明不等式，一般分三个步骤：作差（或作商）、变形、判断，变形一般为通分、因式分解、配方等。 2．步骤是：作差（商）→变形→判断．变形的目的是为了判断．若是作差，就判断与0的大小关系，为了便于判断，往往把形式变为积或完全平方式．若是作商，两边为正，就判断与1的大小关系． 3．有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明方法综合使用． 4．在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正———各项均为正；二定———积或和为定值；三相等———等号能否取得”．若忽略了某个条件，就会出现错误． 变式训练 1． 设，求证：． 2．已知：a＞b＞c＞0, 求证：＞． 考点二、分析法 例3：若，且，求证：. 【答案】因为，且，所以 要证，即证， 只需证，又即， 化简得：即 因，所以上面的不等式成立， 则成立。 【解析】分析法中通过“逆思”探寻证明思路，但要注意分析过程步步可逆。 例4： 求证：。 【答案】 为了证明原不等式成立，只需证明 即 ，只需证明 成立原不等式成立 【解析】运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱写，从而加强针对性，较快地探明解题的途径． 类题通法 一般地，从要证明的不等式的结论出发，逐步寻求使此不等式成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法。分析法又叫逆推法或执果索因法。． 变式训练 1设x>0,y>0且x≠y,求证 考点三、反证法 例5：已知为不小于1的正数，求证： 不可能同时大于 【解析】假设三个式子都大于，经推理得矛盾，证实结论的否定不成立，则原结论成立。 【答案】假设三个式子 ... ...
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