【考点剖析】 1.命题方向预测： 向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目．平面向量数量积、夹角模的计算、向量垂直条件以及数量积的性质等，常以客观题形式命题；解答题常与平面几何、三角函数、解析几何、不等式等交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查． 2.课本结论总结： （1）两个向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角． ②范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°,a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°. ③向量垂直：如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b. （2）平面向量数量积 ①已知两个非零向量a与b，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角． 规定0·a＝0. 向量的投影：||叫向量在向量方向上的投影 当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0. ②a·b的几何意义： 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． （3）向量数量积的性质 ①如果e是单位向量，则a·e＝e·a. ②a⊥ba·b＝0. ③a·a＝|a|2，. ④cos θ＝.(θ为a与b的夹角) ⑤|a·b|≤|a||b|. （4）数量积的运算律 ①交换律：a·b＝b·a. ②分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. ③对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)． （5）数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则： ①a·b＝a1b1＋a2b2. ②a⊥ba1b1＋a2b2＝0. ③|a|＝. ④cos θ＝＝.(θ为a与b的夹角) 3.名师二级结论： (1)向量 b在a的方向上的投影为|b|cos θ=. （2）若向量a∥b，且b=，则可设a=. 4.考点交汇展示： (1)与平面几何交汇 1.【2018年天津卷文】在如图的平面图形中，已知,则的值为 A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 (2)与平面解析几何交汇 2.【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以， 从而可以求得，故选D. (3)与不等式交汇 3.【【衡水金卷】2018届四省名校第三次大联考】如图，在中，已知，为上一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 过P点分别作交AC于M点，交BC于N点，则,因为，所以求出，设，则由三角形面积公式有，而，则，故的最小值为，选D. 4.【2016高考浙江】已知向量a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜ ,则a·b的最大值是 ． 【答案】 【解析】，即最大值为. （3）与三角函数交汇 5.【2018届江苏省盐城市东台中学监测】已知向量满足，且与的夹角的正切值为，与的夹角的正切值为，，则的值为____． 【答案】. 【解析】 6.【2016高考浙江】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是_____． 【答案】 【考点分类】 考向一 平面向量数量积及其几何意义 1.【2019届四川省成都市第七中学零诊】如图，在平面四边形中，，，，.若点为边上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 如图，连接， 已知， ， 又， ， 设， ， 当时，有最小值，故答案为. 2.【2017天津，文14】在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），且，则的值为 . 【答案】 【解析】 【方法规律】 1.平面向量数量积的计算方法 ①已知向量a，b的模及夹角θ，利用公式a·b＝|a||b|cosθ求解； ②已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解； ③用平面向量数量积的几何意义计算. 2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算． 【解题技巧】 在解决与平面几何 ... ...
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