（全国通用版）2019版高考数学（文科）新人教A版大一轮复习学案：第九章平面解析几何（10份）

专题探究课五 高考导航　1.圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是高考必考知识，主要以一个小题一个大题的形式呈现，难度中等偏上；2.高考中的选择题或填空题主要考查圆锥曲线的基本性质，高考中的解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主.这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高. 热点一　定点定值问题(教材VS高考) 定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题. 圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题. 命题角度1　圆锥曲线中定点问题 【例1－1】 (满分12分)(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上. (1)求C的方程； (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点. 教材探源　本题第(1)问源于教材选修1－1P34例1，主要考查利用待定系数法及方程思想求曲线方程. 本题第(2)问源于教材选修1－1P35例3，主要考查利用坐标法研究几何问题，充分考查学生解决综合问题的能力. 满分解答　(1)解　由于点P3，P4关于y轴对称，由题设知C必过P3，P4.又由＋>＋知，椭圆C不经过点P1， 所以点P2在椭圆C上. 1分　(得分点1) 因此解得 3分　(得分点2) 故C的方程为＋y2＝1. 5分　(得分点3) (2)证明　设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2. 如果直线l的斜率不存在，l垂直于x轴. 设l：x＝m，A(m，yA)，B(m，－yA)， k1＋k2＝＋＝＝－1，得m＝2， 此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足. 6分　(得分点4) 从而可设l：y＝kx＋m(m≠1). 将y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 7分　(得分点5) 由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 8分　(得分点6) 则k1＋k2＝＋＝＋ ＝. 由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0. ∴(2k＋1)·＋(m－1)·＝0. 10分　(得分点7) 解之得m＝－2k－1，此时Δ＝32(m＋1)>0，方程有解， ∴当且仅当m>－1时，Δ>0， 11分　(得分点8) ∴直线l的方程为y＝kx－2k－1，即y＋1＝k(x－2). 当x＝2时，y＝－1，所以l过定点(2，－1). 12分　(得分点9) 　 ?得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，分析隐含信息，列出方程组，求出方程.在第(2)问中，分类讨论设出直线方程→联立方程→写出根与系数的关系→利用公式化简求解. ?得关键分：(1)列出方程组.(2)直线方程.(3)韦达定理.(4)斜率公式.都是不可少的过程，有则给分，无则没分. ?得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点3)，(得分点5)，(得分点7). 解答圆锥曲线中的定点问题的一般步骤 第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点. 第二步：探究一般情况.探究一般情形下的目标结论. 第三步：下结论，综合上面两种情况定结论. 命题角度2　圆锥曲线中的定值问题 【例1－2】 (2016·北京卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1. (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值. (1)解　由题意得解得 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)证明　由(1)知A(2，0)，B(0，1). 设P(x0，y0)，则x＋4y＝4. 当x0≠0时， 直线PA的方程为y＝(x－2). 令x＝0，得yM＝－， 从而|BM|＝|1－yM| ... ...