第四章 图形的性质 第27节 特殊的平行四边形■考点1. 特殊平行四边形的性质与判定 1.性质 （具有平行四边形的一切性质，对边平行且相等） 矩 形 菱 形 正方形 （1）四个角都是直角 （2）对角线相等且互相平分.即 AO=CO=BO=DO. （3）面积=长×宽 =2S△ABD=4S△AOB. （1）四边相等 （2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角 （3）面积=底×高 =对角线_乘积的一半 (1)四条边都相等，四个角都是直角 (2)对角线相等且互相垂直平分 (3)面积=边长×边长 =2S△ABD =4S△AOB 2.判定 （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形 （2）有三个角是直角 （3）对角线相等的平行四边形 （1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形 （2）对角线互相垂直的平行四边形 （3）四条边都相等的四边形 （1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形 （2）一组邻边相等的矩形 （3）一个角是直角的菱形 （4）对角线相等且互相垂直、平分 3.联系 注意：(1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC; _两 对全等的等腰三角形.所以经常结合勾股定理、等腰三角形的性质解题.21世纪教育网版权所有 （2）菱形中，有两对全等的等腰三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠ABC=60°，则△ABC和△ADC为 等边 三角形，且四个直角三角形中都有一个30°的锐角. （3）正方形中有8个等腰直角三角形，解题时结合等腰直角三角形的锐角为45°，斜边=直角边. ■考点2.特殊平行四边形的拓展 1.中点四边形 （1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形. （2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形. （3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形. （4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形. 2.特殊四边形中的解题模型 （1）矩形：如图①，E为AD上任意一点，EF过矩形中心O，则△AOE≌△COF,S1=S2. （2）正方形:如图②，若EF⊥MN，则EF=MN;如图③，P为AD边上任意一 点，则PE+PF=AO. （变式：如图④，四边形ABCD为矩形，则PE+PF的求 法利用面积法，需连接PO.） 图① 图② 图③ 图④ ■考点1. 矩形的性质、判定 与应用 ◇典例： 1.（2017?西宁）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ） A．5 B．4 C． D．34 【考点】矩形的性质． 【分析】已知OM是△ADC的中位线，再结合已知条件则DC的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO的长即可求出． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°， ∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB， ∴OM是△ADC的中位线， ∵OM=3， ∴DC=6， ∵AD=BC=10， ∴AC==2， ∴BO=AC=， 故选D．21cnjy.com 2.【2017徐州】如图，在?ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC． （1）求证：四边形BECD是平行四边形； （2）若∠A=50°，则当∠BOD= °时，四边形BECD是矩形． 【考点】矩形的判定；平行四边形的判定与性质． 【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE=OD，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出∠BCD=∠A=50°，由三角形的外角性质求出∠ODC=∠BCD，得出OC=OD，证出DE=BC，即可得出结论． （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB=CD， ∴∠OEB=∠ODC， 又∵O为BC的中点， ∴BO=CO， 在△BOE和△COD中，， ∴△BOE≌△COD（AAS）； ∴OE=OD， ∴四边形BECD是平行四边形； （2）解：若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD=∠A=50°， ∵∠BOD=∠BCD+∠ODC， ∴∠ODC=100°﹣50°=50°=∠BCD， ∴OC=OD， ∵BO=CO，OD=OE， ∴DE=BC， ∵四边形BECD是平行四边形， ∴四边形BE ... ...
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