6．4 数列求和及应用 1．数列求和方法 (1)公式法： (Ⅰ)等差数列、等比数列前n项和公式． (Ⅱ)常见数列的前n项和： ①1＋2＋3＋…＋n＝； ②2＋4＋6＋…＋2n＝； ③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝； ④12＋22＋32＋…＋n2＝； ⑤13＋23＋33＋…＋n3＝. (2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法． (4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．等比数列{an}前n项和公式的推导方法就采用了错位相减法． (5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和． 常见的裂项公式： ①＝－； ②＝； ③ ＝； ④＝ (－)； ⑤＝－； ⑥C＝ ； ⑦n·n！＝ ！－n！； ⑧an＝Sn－Sn－1(n≥2)． 2．数列应用题常见模型 (1)单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝ . (2)复利公式 利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝ . (3)产值模型 原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x，总产值y＝ . (4)递推型 递推型有an＋1＝f(an)与Sn＋1＝f(Sn)两类． (5)数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与三角、数列与解析几何等． 自查自纠 1．(1)① ②n2＋n ③n2 ④ (2)① ② ③ ④ ⑤⑥C－C ⑦(n＋1) 2．(1)a(1＋xr) (2)a(1＋r)x (3)N(1＋p)x 数列{1＋2n－1}的前n项和为( ) A．1＋2n B．2＋2n C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n 解：由题意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋＝n＋2n－1.故选C. 若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( ) A．15 B．12 C．－12 D．－15 解：记bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.故选A. 数列{|2n－7|}的前n项和Tn＝( ) A．6n－n2 B．n2－6n＋18 C. D. 解：设an＝2n－7，n≤3时，an＜0；n＞3时，an＞0，a1＝－5，a2＝－3，a3＝－1，且易得{an}的前n项和Sn＝n2－6n，所以Tn＝故选C. 数列{an}满足an＝，则数列前10项的和为_____． 解：＝2，则数列的前10项的和S10＝2＝2(1－)＝.故填. 有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个．现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要_____秒． 解： 设至少需要n秒，则1＋2＋22＋…＋2n－1≥100，即≥100，所以n≥7.故填7. 类型一 基本求和问题 (1)设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn等于( ) A．2n B．2n－n C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2 (2)求和：1＋＋＋…＋； (3)设f(x)＝，求：f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)； (4)求和：Sn＝＋＋＋…＋. 解：(1)解法一：特殊值法，易知S1＝1，S2＝4，只有选项D适合． 解法二：研究通项an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1， 所以Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1) ＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2n＋1－n－2.故选D. (2)设数列的通项为an，则an＝＝2， 所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2[＋＋…＋]＝2＝. (3)因为f(x)＝，所以f(x)＋f＝1. 令S＝f＋f＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)，① 则S＝f(2 017)＋f(2 016)＋…＋f(1)＋f＋…＋f＋f()，② ①＋②得：2S＝1×4 033＝4 033，所以S＝. (4)(Ⅰ)当a＝1时，Sn＝1＋2＋…＋n＝. (Ⅱ)当a≠1时，Sn＝＋＋＋…＋，① Sn＝＋＋…＋＋，② 由①－②得Sn＝＋＋＋…＋－＝－， 所以Sn＝. 综上所述， Sn＝ 【点拨】研究通项公式是数列求和的关键．数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减 ... ...
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