【七年级奥数】第14讲 待定系数（例题+练习）

第14讲 待定系数———例题 一、第14讲待定系数（例题部分） 1.m,n分别是什么数时，多项式x2+mx+n和(x-2)(x+3)恒等? 【答案】解:由题设(用符号“ ”表示恒等)x2+mx+n (x-2)(x+3) x2+x-6比较对应项的系数，得m=1，n=-6．又解分别用0、1代替式中的x，得 解得m=1，n=-6．所以当m=1，n=-6时，多项式x2+mx+n和(x-2)(x+3)恒等. 【解析】【分析】可以根据情况，采用以上两种解法中的一种，也可以将两种解法结合起来使用．又解中z的值可以任意选取．当然希望产生的方程(组)尽可能简单．本题中，x亦可取0与2． 2.已知多项式x4+x3+x2+2 (x2+mx+1)(x2+nx+2)，求m与n的值． 【答案】解:x4+x3+x2+2 (x2+mx+1)(x2+nx+2)x4+(m+n)x3+(mn+3)x2+(2m+n)x+2比较对应项系数，得 ③-①得m=-1,将m=-1代入①得，n=2.当m=-1，n=2，②显然成立.所以m=-1，n=2. 【解析】【分析】将等式左边展开，如果两个多项式恒等，则它们的对应项系数全相等，从而得出方程组，两个一次方程①、③足够定出m、n．第三个方程②用作检验． 3.已知彻ax2+bx+1与2x2-3x+1的积不含三次项，也不含一项式，求a与b的值． 【答案】解：乘积中的三次项由一个因式中的二次项与另一个因式中的一次项相乘而得，即乘积中的三次项为(2b-3a)x3；同样，乘积中的一次项是(b-3)x．根据题意，这两项的系数为零．从而有 解得：.?∴a=2，b=3. 【解析】【分析】说明要得到乘积中的某一项，不一定非把整个乘积写出，只要写出所需要的项即可；根据题意不含三次项，也不含一次项，即三次项、一次项系数为零，由此列出方程组，解之即可得出a、b的值. 4.已知6x2-7xy-3y2+14x+y+a (2x-3y+b)(3x+y+c)，试确定a、b、c的值． 【答案】解:由题设，得6x2-7xy-3y2+14x+y+a (2x-3y+b)(3x+y+c) 6x2-7xy-3y2+(3b+2c)x+(b-3c)y+bc，比较对应项系数，得 由①、②可得b=4，c=1，把b=4,，c=1代人③得：a=4，所以a=4，b=4,，c=1． 【解析】【分析】说明本例所给出的多项式是二元二次多项式，和一元的多项式一样，如果两个二元多项式恒等，则它们的对应项系数全相等．从而可以通过比较对应项系数来求解． 5.如果5x2-kx+7除以5x-2余6，求k的值及商式． 【答案】解:因为5x2÷5x=x，所以商式的最高次项为一次，并且系数为1．设商式为x+m，由题意得5x2-kx+7 (5x-2)(x+m)+6①即5x2-kx+7 5x2+(5m-2)x-2m+6②比较对应项的系数，得 解得 所以 ，商式为x- ．又解在①中令 得 解得 又比较①中常数项得④，解得m=- . 【解析】【分析】被除数最高次数为2，除数最高次数为1，从而可得商式最高次数为1，设商式为x+m，根据题意得5x2-kx+7 ≡ (5x-2)(x+m)+6，展开根据多项式恒等定理知对应项的系数相等，得一个二元一次方程组，解之可得k、m的值，从而得出商式. 6.将5x3-6x2+10表示成a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+d的形式． 【答案】解:由题意有5x3-6x2+10 a(x-1)3+b(x-1)2+c(x-1)+d ax3+(b-3a)x2+(3a-2b+c)x+(b+d-a-c). 比较对应项系数，得 解得a=5，b=9，c=3，d=9． 所以5x3-6x2+10=5(x-1)3+9(x-1)2+3(x-1)+9． 【解析】【分析】除了用待定系数法外，我们还可以利用变量代换的方法来解本题． 解答如下： 设y=x-1，则x=y+1，代入原式，得 5x3-6x2+10 =5(y+1)3-6(y+1)2+10 =5y3+9y2+3y+9 =5(x-1)3+9(x-1)2+3(x-1)+9 这比解方程组的方法简单． 7.有一个关于x的三次多项式．x分别取0、1、-1、2时，这个多项式的值分别为2、2、0、6．求这个多项式． 【答案】解:设所求的多项式为ax3+bx2+cx+d，根据题意，有 解得a=1，b=-1，c=0．d=2所以所求的多项式为x3-x2+2． 【解析】【分析】设所求的多项式为ax3+bx2+cx+d，根据题意列出一个方程组，解之可得方程组的解，从而可得所求的多项式. 第14讲 待定系数———练习题 一、第14讲待定系数（练习题部分 ... ...