第三章 二次函数复习学案

第三章 二次函数知识总结 基础知识梳理 二次函数的概念： 一般地，形如①_____（a,b,c,是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数。其中②_____是二次项系数，③_____是一次项系数，④_____是常数项。 二次函数的图像和性质： 函数 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) 图象 性质 a>0,抛物线开口向⑤_____ a<0,抛物线开口向⑥_____ 对称轴是直线⑦_____，顶点是⑧_____ 当x<时，y随x的增大而⑨_____；当x>时，y随x的增大而⑩_____ 当x<时，y随x的增大而?_____；当x>时，y随x的增大而?_____ 性质 抛物线有最?_____点，当x=时，y有最小值，14_____ 抛物线有最15_____值，当x=时，y有最大值，16_____ 二次函数与一元二次方程的关系： 抛物线与x轴的交点与一元二次方程的根的判别关系： 有两个交点 △17_____0。 有一个交点（顶点在x轴上） △18_____0。 没有交点 △19_____0。 典型例题剖析 剖析点一 求抛物线的顶点坐标: 1.配方法 【例1】已知抛物线y=x2-4x+8,则二次函数图象的顶点坐标是_____。 思路分析:观察抛物线表达式中二次项和一次项的系数,用配方法比较简单,即y=x2-4x+8=(x-2)2+4.故二次函数图象的顶点坐标是(2,4). 答案:(2,4) 方法总结： 形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的二次函数图象的顶点坐标为(h,k),当二次函数关系式的二次项系数为1或容易配方时,就采用配方法,它是求抛物线顶点的基本方法之一。 2.公式法 【例2】已知二次函数y=7x2+23x+8,则二次函数图象的顶点坐标是_____。 思路分析:∵a=7,b=23,c=8,∴，。∴此二次函数图象的顶点坐标是。 答案： 方法总结 形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数,当a,b,c的值比较复杂,特别是实际问题中确定顶点的题目,用配方法比较麻烦时,可采用公式法,即顶点坐标公式为,这也是求抛物线顶点的基本方法之一。 3.代入法 【例3】已知抛物线y=-x2+x+6的对称轴为直线x=,则此抛物线的顶点坐标是_____。 思路分析:当x=时,y=， ∴此抛物线的顶点坐标是。 答案: 方法总结： 当已知抛物线的对称轴时,常用代入法。 4.交点法 【例4】二次函数y=2(x-1)(x+3)的图象的顶点坐标是_____。 思路分析:∵x1=1,x2=-3，∴，。 故二次函数图象的顶点坐标是(-1,-8) 答案:(-1,-8) 方法总结： 形如y=a(x-x1)(x-x2)的二次函数,由于 a(x-x1)(x-x1)=a[x2-(x1+x2)x+x1x2] ==, 所以顶点坐标为。 跟踪练习 1.已知点(1,4),(3,4)在二次函数y=3x2+kx-2k的图象上,求二次函数图象的顶点坐标。 剖析点二 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的位置与各项系数符号的判别 【例5】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,现有下列结论:①abc>0；②-4a<0； ③4a-2b+c<0；④b=-2a。则其中正确的是( ) A.①③ B.③④ C.②③ D.①④ 思路分析: 由抛物线的开口向下,得到a<0,∵>0,∴b>0.由抛物线与y轴交于正半轴，得到c>0,∴abc<0,①错误,∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,②错误.∵x=-2时对应的函数值为负数,∴4a-2b+c<0,③正确,∵对称轴为直线x=1,∴=1,即b=-2a,④正确,因此其中正确的结论是③④。 答案:B 方法总结 二次函数各项系数的判别可以结合图象进行判断,由开口方向可知a的符号,由对称轴的位置结合开口方向能判断出b的符号,由图象与y轴的交点可判断c的符号。 跟踪练习 2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为x=- 下列结论中正确的是( ) A. abc>0 B. a+b=0 C. 2b+c>0 D. 4a+c<2b 剖析点三 二次函数的综合题 【例6】如图所示,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(3,0),直线y=-x+3恰好经过B,C两点。 (1)写出点C的坐标。 (2)求出抛物线y=x2+bx+c的解析式,并写出抛物线的对称轴和点A的坐标。 (3)点P在抛物线的对称轴上,抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB,求点P的坐标。 思路分析: ( ... ...