压轴大题抢分练(一) (建议用时：60分钟) 1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上点M(3，m)到焦点F的距离为4. (1)求抛物线方程； (2)点P为准线上任意一点，AB为抛物线上过焦点的任意一条弦，设直线PA，PB，PF的斜率为k1，k2，k3，问是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3恒成立．若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由． [解] (1)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为，准线为x＝－， 由抛物线的定义可知：4＝3＋，p＝2， ∴抛物线方程为y2＝4x. (2)由于抛物线y2＝4x的焦点F为(1,0)，准线为x＝－1， 设直线AB：x＝my＋1，与y2＝4x联立，消去x，整理得： y2－4my－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(－1，t)，有 易知k3＝－，而k1＋k2＝＋ ＝ ＝ ＝＝－t＝2k3， ∴存在实数λ＝2，使得k1＋k2＝λk3恒成立． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0. (1)求证：k1·k2＝－； (2)试探求△OPQ的面积S是否为定值？并说明理由． [解] (1)∵k1，k2存在， ∴x1x2≠0， ∵m·n＝0，m＝，n＝， ∴＋y1y2＝0， ∴k1·k2＝＝－. (2)①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时， 由＝－得，－y＝0， 又由P(x1，y1)在椭圆上，得＋y＝1， ∴|x1|＝，|y1|＝. ∴S△POQ＝|x1||y1－y2|＝1. ②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b. 由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝. ∵＋y1y2＝0， ∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1， ∴S△POQ＝··|PQ|＝|b|＝2|b|＝1. 综上可得，△POQ的面积S为定值． 3．已知f(x)＝xln x. (1)求f(x)的最小值； (2)证明：对一切x∈(0，＋∞)都有ln x＞－. [解] (1)f′(x)＝1＋ln x，在上， f′(x)＜0，f(x)递减，在上， f′(x)＞0，f(x)递增，所以f(x)在x＝时，取得最小值f＝－. (2)要证：ln x＞－只需证：xln x＞－，因为f(x)＝xln x在(0，＋∞)最小值为－，所以构造函数g(x)＝－(x＞0)， g′(x)＝，因此g(x)在(0,1)递增，在(1，＋∞)递减，所以g(x)最大值为g(1)＝－，又因为f(x)与g(x)的最值不同时取得，所以f(x)＞g(x)， 即xln x＞－， 所以ln x＞－. 4．已知函数f(x)＝ln x＋＋a. (1)若曲线f(x)在x＝1处的切线l过点(－1,0)，求a的值及切线l的方程； (2)若存在唯一整数x0，使得f(x0)＜0，求实数a的取值范围，并判断此时方程f(x)＝0的实根个数． [解] (1)因为f′(x)＝－＋2，所以f(1)＝a＋6，f′(1)＝2， 由曲线f(x)在x＝1处的切线过点(－1,0)，可得切线l的斜率k＝f′(1)＝，即＝2， 所以a＝－2，且切线l的方程为y＝2(x＋1)，即2x－y＋2＝0. (2)由题可知：f′(x)＝(x＞0)，所以当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 若存在唯一整数x0，使得f(x0)＜0，则x0＝1， 所以即 所以－ln 2－≤a＜－6， 所以实数a的取值范围为. 结合f(x)在上单调递减，在上单调递增， 且f(1)＜0，f(2)≥0，f＝e3＋＋a＞0， 可知f(x)＝0在上及上各有1个实根， 所以f(x)＝0有2个实根． 压轴大题抢分练(二) (建议用时：60分钟) 1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C上存在一点E(2，t)到焦点F的距离等于3. (1)求抛物线C的方程； (2)过点K(－1,0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点(A，B两点在x轴上方)，点A关于x轴的对称点为D，且FA⊥FB，求△ABD的外接圆的方程． [解] (1)抛物线的准线方程为x＝－， 所以点E(2，t)到焦点F的距离为2＋＝3， 解得p＝2. 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)法一：设直线l的方程为x＝my－1(m＞0)． 将x＝my－1代入y2＝4x并整理得y2－4my＋4＝0. 由Δ＝(－4m)2－16＞0，解得m＞1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(x1，－y1)， y1＋y2＝4m，y1y2＝4 ... ...
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