2019高考数学（文）”一本“培养优选练：中档大题分类练 打包1

中档大题分类练(一)　三角函数、解三角形 (建议用时：60分钟) 1．已知m＝，n＝，设函数f(x)＝m·n. (1)求函数f(x)的单调增区间； (2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，求f(B)的取值范围． [解]　(1)f(x)＝m·n＝·＝sin＋， 令2kπ－≤＋≤2kπ＋，则4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)单调递增区间为，k∈Z. (2)由b2＝ac可知cos B＝＝≥＝(当且仅当a＝c时取等号)， 所以0＜B≤，＜＋≤，1＜f(B)≤， 综上f(B)的取值范围为. 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos C＝(2b－c)cos A. (1)求角A的大小； (2)若a＝2，求△ABC面积的最大值． [解]　(1)由正弦定理可得：sin Acos C＝2sin Bcos A－sin Ccos A， 从而可得：sin(A＋C)＝2sin Bcos A， 即sin B＝2sin Bcos A， 又B为三角形内角，所以sin B≠0，于是cos A＝， 又A为三角形内角，所以A＝. (2)由余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A得：4＝b2＋c2－2bc≥2bc－bc， 所以bc≤4(2＋)，所以S＝bcsin A≤2＋，△ABC面积最大值为2＋. 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－c＝b，sin B＝sin C. (1)求cos A的值； (2)求cos的值． [解]　(1)在△ABC中，由＝，及sin B＝sin C，可得b＝c. 由a－c＝b，得a＝2c. 所以cos A＝＝＝. (2)在△ABC中，由cos A＝，可得sin A＝. 于是cos 2A＝2cos2A－1＝－，sin 2A＝2sin A·cos A＝. 所以cos＝cos 2A·cos＋sin 2A·sin＝. 4．如图54所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1, CD＝3，cos B＝. 图54 (1)求△ACD的面积； (2)若BC＝2，求AB的长． [解]　(1)因为∠D＝2∠B，cos B＝， 所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－. 因为D∈(0，π)， 所以sin D＝＝. 因为AD＝1，CD＝3， 所以△ACD的面积S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝. (2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12， 所以AC＝2. 因为BC＝2，＝， 所以＝＝＝＝， 所以AB＝4. (教师备选) 1．已知f(x)＝4sin xcos x＋2cos 2x－1，x∈. (1)求f(x)的值域； (2)若CD为△ABC的中线，已知AC＝f(x)max，BC＝f(x)min，cos∠BCA＝，求CD的长． [解]　(1)f(x)＝4sin xcos x＋2cos 2x－1， 化简得f(x)＝2sin 2x＋2cos 2x－1＝4sin2x＋－1. 因为x∈，所以2x＋∈， 当2x＋＝时，sin取得最大值1， 当2x＋＝或2x＋＝时，sin取得最小值， 所以sin∈，4sin －1∈[1,3]， 所以f(x)的值域为[1,3] . (2)法一：因为AC＝f(x)max，BC＝f(x)min ， 由(1)知，AC＝3，BC＝1 ， 又因为cos∠BCA＝， 根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA＝8， 所以AB＝2. 因为AC2＝AB2＋BC2，所以△ABC为直角三角形， B为直角. 故在Rt△ABC中，BC＝1，BD＝ ， 所以CD＝＝. 法二：由(1)知||＝3，||＝1，＝(＋)， 所以2＝(2＋2＋2·) ＝＝3， 所以||＝. 2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角． (1)证明：B－A＝； (2)求sin A＋sin C的取值范围． [解]　(1)证明：由a＝btan A及正弦定理， 得＝＝， 所以sin B＝cos A，即sin B＝sin. 又B为钝角，因此＋A∈， 故B＝＋A，即B－A＝. (2)由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－＝－2A＞0， 所以A∈. 于是sin A＋sin C＝sin A＋sin ＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1 ＝－22＋. 因为0＜A＜，所以0＜sin A＜， 因此＜－22＋≤. 由此可知sin A＋sin C的取值范围是. 中档大题分类练(二)　数列 (建议用时：60分钟) 1．已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝4，an＝2n＋1(n≥2)． (1)证明：当n≥2时，Sn＝an＋n2； (2)若等比数列{bn}的前两项分别为S2，S5，求{bn}的前n项和Tn. [解]　(1)证明：当n≥2时， ∵Sn＝4＋(5＋7＋…＋2n＋1) ＝4＋＝n2＋2n＋1， ∴Sn＝(2n＋1)＋n2＝an＋n2. (2)由(1)知 ... ...