2019年备战高考数学易错专题系列 专题 六 数列

中小学教育资源及组卷应用平台 2019年备战高考数学易错专题系列 专题六 数列（原卷版） 易错点1 忽略了n的取值 已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法 (1)形如an＋1＝anf(n)，常用累乘法，即利用恒等式an＝a1···…·求通项公式． (2)形如an＋1＝an＋f(n)，常用累加法．即利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)求通项公式． (3)形如an＋1＝ban＋d(其中b，d为常数，b≠0,1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造an＋1＋x＝b(an＋x)(其中x＝)，则{an＋x}是公比为b的等比数列，利用它即可求出an. (4)形如an＋1＝(p，q，r是常数)的数列，将其变形为＝·＋. 若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项； 若p≠r，则采用(3)的办法来求． (5)形如an＋2＝pan＋1＋qan(p，q是常数，且p＋q＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为an＋2－an＋1＝(－q)·(an＋1－an)，则{an－an－1}(n≥2，n∈N*)是等比数列，且公比为－q，可以求得an－an－1＝f(n)，然后用累加法求得通项． (6)形如a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)的式子， 由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，① 得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝f(n－1)，② 再由①－②可得an. (7)形如an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可． (8)形如an·an＋1＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2·an＋1＝f(n＋1)，两式作商可得，然后分奇、偶讨论即可． (9)an＋1－an＝qan＋1an(q≠0)型，将方程的两边同时除以an＋1an，可构造一个等差数列． 具体步骤：对an＋1－an＝qan＋1an(q≠0)两边同时除以an＋1an，得到－＝q，即 －＝－q， 令bn＝，则{bn}是首项为，公差为－q的等差数列. (10)an＝pa(n≥2，p>0)型，一般利用取对数构造等比数列． 具体步骤：对an＝pa两边同取常用对数，得到lg an＝rlg an－1＋lg p，令bn＝lg an，则{bn}可归为an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型. 【例1】已知等比数列 中， ， ，则 （ ） A.2 B. C. D.4 【错因分析】本题对等比性质的理解不深刻易选错误答案C，本题应根据等比中项的定义及性质，求出 和 ，再结合等比数列的性质，即可求出. 【解析】由等比数列的性质可得 ， ∴ ． ∴ ， 又 与 和 同号， ∴ ． 故答案为：A． 【答案】A 1.已知数列{an}的前n项和Sn＝ ，则{an}的通项公式an＝_____. 易错点2 忽略数列中为0的项 数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题 1．等差数列的前n项和与函数的关系 等差数列的前n项和公式为可变形为Sn＝n2＋n，令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn. 当A≠0，即d≠0时，Sn是关于n的二次函数，(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上，为抛物线y＝Ax2＋Bx上一群孤立的点．利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题． 2．等差数列前n项和的最值 (1)若等差数列的首项a1>0，公差d<0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n项和有最大值，且满足 (2)若等差数列的首项a1<0，公差d>0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n项和有最小值，且满足 3．求等差数列前n项和的最值的方法 (1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*. (2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值． (3)项的符号法：当a1>0，d<0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a1<0，d>0时，满足的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使Sn取最值的n有两个． 4．在等差数列中，若，，则（1）为偶数当时最大；（2）为奇数当或时最大． 【例2】设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则满足 的最大自然数 的值为（ ） A. 12 B. 13 C. 22 D. 23 【错因分 ... ...