2019届高三数学（理）二轮专题复习文档：考前冲刺二 10个二级结论高效解题 Word版含解析

结论1　奇函数的最值性质 已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0. 【例1】 设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝_____. 解析　显然函数f(x)的定义域为R， f(x)＝＝1＋， 设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)， ∴g(x)为奇函数， 由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0， ∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2. 答案　2 【训练1】 对于函数f(x)＝asin x＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是(　　) A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2 解析　令g(x)＝f(x)－c＝asin x＋bx，则g(x)是奇函数.又g(－1)＋g(1)＝f(－1)－c＋f(1)－c＝f(－1)＋f(1)－2c，而g(－1)＋g(1)＝0，c为整数，∴f(－1)＋f(1)＝2c为偶数.选项D中，1＋2＝3是奇数，不可能成立. 答案　D 结论2　抽象函数的周期性与对称性 1.函数的周期性 (1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a. (2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a. (3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a. 2.函数的对称性 已知函数f (x)是定义在R上的函数. (1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称. 【例2】 (1)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 (2)(2018·日照调研)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为_____. 解析　(1)因为函数f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(－2 017)＝－f(2 017)， 因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)， 所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次. 又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1， ∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2， f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3. 故f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1. (2)因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称， 所以f(x)是R上的奇函数， f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4. 所以f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4， 所以f(2 016)＋f(2 018)＝－f(2 014)＋f(2 014＋4) ＝－f(2 014)＋f(2 014)＝0， 所以f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4. 答案　(1)C　(2)4 【训练2】 奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝(　　) A.－2 B.－1 C.0 D.1 解析　由f(x＋2)是偶函数可得f(－x＋2)＝f(x＋2)， 又由f(x)是奇函数得f(－x＋2)＝－f(x－2)， 所以f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝1. 答案　D 结论3　两个经典不等式 (1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立. (2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立. 进一步可得到一组不等式链：ex>x＋1>x>1＋ln x(x>0，且x≠1). 【例3】 (2017·全国Ⅲ卷改编)已知函数f(x)＝x－1－aln x. (1)若f(x)≥0，求a的值； (2)证明：对于任意正整数n，…