第22讲 不等式选讲 / 1.[2018·全国卷Ⅱ] 设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集; (2)若f(x)≤1,求a的取值范围. [试做]? ? ? 2.[2018·全国卷Ⅰ] 已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围. [试做]? ? ? 3.[2017·全国卷Ⅱ] 已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明: (1)(a+b)(a5+b5)≥4; (2)a+b≤2. [试做]? ? ? (1)形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)的不等式主要有两种解法: ①分段讨论法:利用绝对值内表达式对应方程的根,将数轴分为(-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此处设a
0). (1)当a=1时,解不等式f(x)>x-1; (2)若关于x的不等式f(x)>4有解,求a的取值范围. [听课笔记] ? ? ? 【考场点拨】 (1)对于形如|f(x)|≥|g(x)|的不等式,可利用不等式两边平方的技巧去掉绝对值;(2)对于形如|f(x)|±|g(x)|≥a,|f(x)|±|g(x)|≤a的不等式,通常利用“零点”分区间法去掉绝对值. 【自我检测】 设函数f(x)=|2x-7|+1. (1)求不等式f(x)≤x的解集; (2)若存在x使不等式f(x)-2|x-1|≤a成立,求实数a的取值范围. ? ? /解答2不等式的证明 /2 已知a>0,b>0,且a2+b2=2. (1)若 1 ?? 2 + 4 ?? 2 ≥|2x-1|-|x-1|恒成立,求x的取值范围; (2)证明: 1 ?? + 1 ?? (a5+b5)≥4. [听课笔记] ? ? ? 【考场点拨】 (1)证明不等式的基本方法有综合法、分析法,也常用到基本不等式进行证明;(2)对于含有绝对值的不等式,在证明时常用到绝对值三角不等式;(3)对于含有根号的不等式,在证明时可用平方法(前提是不等式两边均为正数);(4)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题,或以“至少”“至多”等方式给出,可以考虑反证法. 【自我检测】 已知关于x的不等式 1 2 ??+?? ≤|x+2|的解集为R. (1)求实数m的值; (2)若a,b,c>0,且a+b+c=m,求证: ?? + ?? + ?? ≤ 3 . ? ? /解答3含绝对值不等式的恒成立问题 /3 已知函数f(x)=|x-2|+2|x-1|. (1)求不等式f(x)>4的解集; (2)若不等式f(x)>2m2-7m+4对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围. [听课笔记] ? ? ? 【考场点拨】 利用绝对值不等式恒成立求参数的值或取值范围常用以下结论:①若f(x)>g(a)恒成立,则f(x)min>g(a);②若f(x)0的解集; (2)若对于任意x∈R,不等式f(x)≥2恒成立,求m的取值范围. ? 第22讲 不等式选讲 / 典型真题研析/ 1.解:(1)当a=1时, f(x)= 2??+4,??≤-1, 2,-12. 可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}. (2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4. 而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立,故f(x)≤1等价于|a+2|≥4. 由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2, 所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞). 2.解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)= -2,??≤-1, 2??,-11的解集为/x/x> 1 2 /. (2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1; 若a>0,|ax-1|<1的解集为/x/0
