备考2019中考数学高频考点剖析专题36 动态几何之存在性问题（原卷+解析卷）

备考2019中考数学高频考点剖析 专题三十六 动态几何之存在性问题 考点扫描聚焦中考 探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现- -定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称(翻折)、平移、旋转(中心对称、滚动)等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等.解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况，以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射. 动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰(边)三角形存在问题;直角三角形存在问题;平行四边形存在问题;矩形、菱形、正方形存在问题;梯形存在问题;全等三角形存在问题;相似三角形存在问题;其它存在问题等.动态几何之存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类. 考点剖析典型例题 例1（2018?山东淄博?8分）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根． （1）求证：PA?BD=PB?AE； （2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由． 【考点】MR：圆的综合题． 【分析】（1）易证∠APE=∠BPD，∠EAP=∠B，从而可知△PAE∽△PBD，利用相似三角形的性质即可求出答案． （2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，易求得AE=2，BD=3，由（1）可知：，从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC=，从而可求出AD和DG的长度，进而证明四边形ADFE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积． 【解答】解：（1）∵DP平分∠APB， ∴∠APE=∠BPD， ∵AP与⊙O相切， ∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°， ∴∠EAP=∠B， ∴△PAE∽△PBD， ∴， ∴PA?BD=PB?AE； （2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G， ∵DP平分∠APB， AD⊥AP，DF⊥PB， ∴AD=DF， ∵∠EAP=∠B， ∴∠APC=∠BAC， 易证：DF∥AC， ∴∠BDF=∠BAC， 由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2﹣5x+6=0， 解得：AE=2，BD=3， ∴由（1）可知：， ∴cos∠APC==， ∴cos∠BDF=cos∠APC=， ∴， ∴DF=2， ∴DF=AE， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∵AD=AE， ∴四边形ADFE是菱形， 此时点F即为M点， ∵cos∠BAC=cos∠APC=， ∴sin∠BAC=， ∴， ∴DG=， ∴在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形 其面积为：DG?AE=2×= 【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能力． 例2（2018·山东青岛·12分）已知：如图，四边形ABCD，AB∥DC，CB⊥AB，AB=16cm，BC=6cm，CD=8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t（s），0＜t＜5． 根据题意解答下列问题： （1）用含t的代数式表示AP； （2）设四边形CPQB的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （3）当QP⊥BD时，求t的值； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在∠ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）如图作DH⊥AB于H则四边形DHBC是矩形，利用勾股定理求出AD的长即可解决问题； （2）作PN⊥AB于N．连接PB，根据S=S ... ...