荆门市2019年高三年级元月调考 数学（理科）参考答案 1、 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C A A B C B B D A D 二、填空题： 13． 14． 15．90 16． 三、解答题： 17．解：（Ⅰ）由正弦定理：，又由已知， 所以，………………………………………………………………………3分 ， 因为，所以．…………………………………………6分 （Ⅱ）由正弦定理得，，则， 中，由余弦定理，， 则 ……………………………………………………………………………10分 故， 所以的周长为．…………………………………………12分 18.解：（Ⅰ）证明：由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，AF⊥BE， 由已知得AF⊥BD，BE∩BD=B，∴AF⊥平面BDE ………………………………2分 又DE?平面BDE，∴AF⊥DE， 又AE⊥DE，AE∩AF=A，∴DE⊥平面ABFE，……………………………………5分 （Ⅱ）在图2中，AE⊥DE，AE⊥EF，DE∩EF=E，即AE⊥面DEFC， 在梯形中，过点作//交于点，连接， 易得，，则DC⊥CF，则， ， 过E作EG⊥EF交D C于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，以E为坐标原点，以 分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， ………………7分 则 设平面ACD的一个法向量为， 由得取得 …………………9分 设，则，得 设CP与平面ACD所成的角为 所以．…………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）因为20人中答对第5题的人数为4人， 因此第5题的实测难度为． …………………………………………………2分 所以，估计240人中有人实测答对第5题．………………………………3分 （Ⅱ）的可能取值是0，1，2． ； ； ． …………6分 的分布列为： 0 1 2 ……………………………………7分 ． …………………………………………………8分 （Ⅲ）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度． ． ………………………………………………………………………11分 因为 ， 所以，该次测试的难度预估是合理的． ………………………………………………12分 20. 解：（Ⅰ）∵点在线段的垂直平分线上，∴． 又，∴．………………… 2分 ∴曲线是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为的椭圆． 设曲线的方程为．∵，∴． ∴曲线的方程为． ……………………………………………………… 5分 （Ⅱ）设． 联立消去，得． 此时有．由一元二次方程根与系数的关系，得 ，． ………………………………………………7分 ∴． ∵原点到直线的距离， ∴． ……………………………10分 由，得．又，由基本不等式，得 ． 当且仅当时，不等式取等号． ∴面积的最大值为． ……………………………………………………12分 21.解：（1）由题意， . ………………2分 （ⅰ）当时，，令，得；，得， 所以在单调递增，单调递减；…………………………………3分 （ⅱ）当时，，令，得；，得或， 所以在单调递增，，单调递减， …………5分 （Ⅱ）令，，当时，， 单调递增，则， ………………………………………6分 则对恒成立等价于， 即，对恒成立.…………………………………………7分 （ⅰ）当时，，，，此时， 不合题意，舍去. ………………………………………………………………………8分 （ⅱ）当时，令，， 则，其中，， 令，则在区间上单调递增， ①当时，，所以对，，则在 上单调递增，故对任意，，即不等式在上恒成立，满足题意. …………………………………10分 ②当时，由，及在区间上单调递增，所以存在唯一的使得，且时，. 从而时，，所以在区间上单调递减， 则时，，即，不符合题意. 综上所述，. ……………………………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）消去参数可得圆的直角坐标方程式为………………2 ... ...
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