第四章 图形的性质 第24节圆的有关概念与性质■知识点一：圆的有关概念 (1)圆：平面上到定点的距离等于 定长 的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为 圆心 ，定长为半径 ． (2)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧． (3)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径． (4)相关概念：同心圆、弓形、等圆、等弧． (5)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． (6)圆周角：顶点在圆上，并且两边和圆相交的角是圆周角 ． (7)确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作 无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作 一个圆．【来源：21cnj*y.co*m】 (8)圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线；圆是中 对称图形，对称中心为圆心，并且圆具有旋转不变性． ■知识点二：垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ． ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧， ③弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ． ④平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑤圆的两条平行弦所夹的弧相等． ■知识点三： 圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． ■知识点四：圆周角定理及推论 ①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 ． 推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 ． 推论2：直径所对的网周角是直角 ；90°的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ②圆内接四边形的任意一组对角互补． ■考点1.圆的有关概念 ◇典例： （2017年黑龙江大庆）如图，点M，N在半圆的直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形．若半圆的半径为，则正方形的边长为 ． 【考点】正方形的性质；勾股定理；圆的认识． 【分析】连接OP，设正方形的边长为a，则ON=，PN=a，再由勾股定理求出a的值即可． 解：连接OP，设正方形的边长为a，则ON=，PN=a， 在Rt△OPN中， ON2+PN2=OP2，即（）2+a2=（）2，解得a=2． 故答案为：2． 【点评】本题考查的是正方形的性质，勾股定理；圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． ◆变式训练 （2017?宁夏）如图，点 A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 _____ ■考点2.垂径定理及其推论 ◇典例： （2018年黑龙江省龙东、七台河、佳木斯、鸡西、伊春、鹤岗、双鸭山）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为 ． 【考点】垂径定理，勾股定理 【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可． 解：连接OC， ∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴CE=DE=CD=×6=3， 设⊙O的半径为xcm， 则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1， ... ...
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