中小学教育资源及组卷应用平台 1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用（解析版） 考纲要求 考 点 考纲要求 要求 高考题型 等高条形图的应用 会观察等高条形图 II 选择题 独立性检验 了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用． I 填空题 独立性检验与统计的综合应用 独立性检验的思想及简单应用． I 解答题 知识梳理 1．分类变量和列联表 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． (2)列联表 ①定义：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表． ②2×2列联表：一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为： 2×2列联表 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 2.等高条形图 (1)等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征． (2)观察等高条形图发现和相差很大，就判断两个分类变量之间有关系． 3．独立性检验 (1)定义：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． (2)公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量． 考向一 等高条形图的应用 [例1] 某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系． [解析] 作列联表： 性格内向 性格外向 总计 考前心情紧张 332 213 545 考前心情不紧张 94 381 475 总计 426 594 1 020 相应的等高条形图如图所示： 图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例．从图中可以看出考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关． 如何利用等高条形图判定分类变量间关系强弱 (1)绘制等高条形图时，列联表的行对应的是高度，两行的数据不相等，但对应的条形图的高度是相同的；两列的数据对应不同的颜色． (2)等高条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显(即和相差很大)，就直观判断两个分类变量之间有关系． 1．观察各图，其中两个分类变量X，Y之间关系最强的是( ) 解析：在四个选项中，选项D中等高条形图中阴影的高度相差最明显，说明两个分类变量之间的关系最强． 答案：D 考向二 独立性检验 [例2] 如表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表： 得病 不得病 总计 干净水 52 466 518 不干净水 94 218 312 总计 146 684 830 (1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关？请说明理由． (2)若饮用干净水得病的有5人，不得病的有50人，饮用不干净水得病的有9人，不得病的有22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异． [解析] (1)假设H0：传染病与饮用水无关．把表中数据代入公式得： K2的观测值k＝≈54.21. 在H0成立的情况下，P(K2>10.828)≈0.001，是小概率事件， 所以拒绝H0. 因此我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干净水有关． (2)依题意得2×2列联表： 得病 不得病 总计 干净水 5 50 55 不干净水 9 22 31 总计 14 72 86 此时，K2的观测值k＝≈5.785. 因为5.785>5.024，P(K2>5.024)≈0.025， 所以我们有97.5%的把握认为该种疾病与饮用不干净水有关．两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相同结论，但(1)中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性，(2)中我们只有97.5%的把握肯定． 独立性检验问题的一般步骤 (1)通过列联表确定a、b、c、d、n的值，根据实 ... ...
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