计数原理(16ppt)

10.1 计 数 原 理 “我不知道， 世上人会怎样看我; 不过， 我自己觉得， 我只像一个在海滨玩耍的孩 子， 一会捡起块比较光滑的卵石， 一会 儿找到个美丽的贝壳; 而在我前面， 真理 的大海还完全没有发现。” --牛顿 看图1和图2，数一数从甲地到乙地有多少种不同的走法？ 图1 图2 问题1 从甲地去乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有 2 班，汽车有 4 班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的选择？ 解 : 2＋4＝6 (种) 1.要完成什么事？ 2.完成这件事有几类不同的办法？ 3.每类办法中又有几种方法？ 4.完成这件事共有多少种不同的方法？ （一）分类计数原理--加法法则 有n 类办法 N＝m1＋m2＋…＋mn 第 1 类办法中 有 m1 种不同的方法 第 2 类办法中 有 m2 种不同的方法 第 n 类办法中 有 mn 种不同的方法 …… 共有多少种不同的方法 完成一件事 例1：书架上层有不同的数学书 15 本，中层有不同的语文 书 18 本，下层有不同的物理书 7 本.现从中任取一本 书，问有多少种不同的取法？ 有三类取法 N＝15＋18＋7 ＝40 (种) 第 1 类，从上层 15 本数学书任取一本，有 15 种取法 第 2 类，从中层 18 本语文书任取一本，有 18 种取法 第 3 类，从下层 7 本物理书任取一本，有 7 种取法 共有多少种不同的取法 任取一本书 例 2:　某班同学分成甲、乙、丙、丁四个小组， 甲组 9 人，乙组 11 人，丙组 10 人，丁组 9 人． 现要求该班选派一人去参加某项活动，问有多少 种不同的选法？ 解:　根据分类计数原理， 　 　不同的选法一共有： 　 　N＝9＋11＋10＋9＝39 (种)． 问题(1)：本题中要完成一件什么事？ 问题(2)：由 A 地去 C 地有 个步骤， 第一步：由 A 地到 B 地，有 种不同的走法； 第二步：由 B 地到 C 地，有 种不同的走法． 问题(3)：完成这件事有多少种不同的方法？ 2 2 3 问题2 由 A 地去 C 地，中间必须经过 B 地，且已知由 A地到 B 地有 3 条路可走，再由 B 地到 C 地有 2 条路可走，那么由 A 地经 B 到 C 地有多少种不同的走法？ 解: 3 × 2＝6 (种)．　 （二）分步计数原理--乘法法则 完成一件事 第 1 步有m1种不同的方法 第 2 步有m2种不同的方法 第 n 步有 mn种不同的方法 N= m1 × m2 × … × mn 有 n 个步骤 共有多少种不同的方法 … → → → → → 例3: 书架上层有不同的数学书15本，中层有不同的语文书18本，下层有不同的物理书7本.现从中取出数学、语文、物理书各一本，问有多少种不同的取法？ 有三个步骤 N＝15×18×7＝1890 (种) 第1步， 从上层 15本数 学书任 取一本, 有15种 取法； 第2步， 从中层 18本语 文书任 取一本, 有18种 取法； 第3步， 从下层 7本物 理书任 取一本, 有7种 取法. 各取一本书 共有多少种不同的取法 第3步， ? 例4: 某农场要在4种不同类型的土地上，试验种植A，B，C，D这4种不同品种的小麦，要求每种土地上试种一种小麦，问有多少种不同的试验方案？ 依据分步计数原理， 可知有4×3×2×1＝24 (种)不同的试验方案. 第 3 步，考虑 C 种小麦，可在剩下的 2 种不同 　　　　类型的土地中任选 1 种，有 2 种选法； 第 2 步，考虑 B 种小麦，可在剩下的 3 种不同 　　　　类型的土地中任选 1 种，有 3 种选法； 第 4 步，最后考虑 D 种小麦，只剩下 1 种类型 　　　　的土地，因此只有 1 种选法. 第 1 步，先考虑 A 种小麦，可在 4 种不同类型 　　　　的土地中任选 1 种，有4 种选法； 例5 : 由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个 3 位数 　　 (各位上的数字可以重复)？ 解:　根据分步计数原理， 　 　组成不同的 3 位数的个数共有　 　　 5×5×5＝125 (个). 第一步 第二步 第三步 5 × 5 × 5 百位 十位 个位 两个原理的共同点与不同点. (1)共同点： (2)不 ... ...