中小学教育资源及组卷应用平台 1.5 定积分的概念（解析版） 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程 考 点 考纲要求 要求 题型 求曲边梯形的面积 会求曲边梯形的面积，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法. ii 填空，选择。 求变速直线运动物体的路程 求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程. ii 填空，选择。 知识梳理 一、连续函数 一般地，如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数． 二、曲边梯形的面积 (1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． (2)求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； ③求和：以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． 三、变速直线运动的位移(路程) 一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内的位移s. 典例解析 考向一 求曲边梯形的面积 [典例1] 求由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线y＝x2＋2x所围成的图形的面积S. [解析] (1)分割 在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将它等分为n个小区间：，，，…，，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝－＝. 分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝ΔSi. (2)近似代替 记f(x)＝x2＋2x，当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为f(x)的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值f.从图形上看就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样在区间上，用小矩形的面积ΔS′i近似地代替ΔSi，则有ΔSi≈ΔS′i＝f·Δx＝. (3)求和 小曲边梯形的面积和Sn＝ΔSi≈ΔS′i ＝ ＝ ＝＋ ＝＋. (4)取极限 分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，可以看到，当n趋向于无穷大，即Δx趋向于0时，Sn越来越趋向于S， 从而有S＝Sn ＝ ＝. 即由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线y＝x2＋2x所围成的图形的面积等于. 1．求曲边梯形的面积时要按照分割—近似代替—求和—取极限这四个步骤进行． 2．近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替． 3．求和时要用到一些常见的求和公式，例如：1＋2＋3＋…＋n＝，12＋22＋…＋n2＝等． 1．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积． 解析：(1)分割 将曲边梯形分割成n个小曲边梯形， 在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将区间[0,1]等分成n个小区间：[0，]，[，]，…，[，1]， 记第i个区间为[，](i＝1,2，…，n)，其长度为 Δx＝－＝. 把每个小曲边梯形的面积记为ΔS1，ΔS2，…，ΔSn. (2)近似代替 根据题意可得第i个小曲边梯形的面积 ΔSi＝|f()·Δx|＝|[·(－1)]·| ＝·(1－)(i＝1,2，…，n)． (3)求和 把每个小曲边梯形近似地看作矩形，求出这n个小矩形的面积的和 S′＝|f()·Δx|＝[·(1－)] ＝·(1－)， 从而得到所求图形面积的近似值S≈·(1－)． (4)取极限 当n→∞时，上述和式的极限就是所求图形的面积， 即S＝ ·(1－)＝， 得到由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积为. 考向二 求变速直线运动物体的路程 [典例2] 一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时刻t的速度v(t)＝ ... ...
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