专题十三 高考中存在性问题解答策略（原卷版） 考 点 考纲要求 考情分析 1.存在性 存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高， “存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。 近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。 一、解答题 1.（2018?卷Ⅰ）已知函数 （1）讨论 的单调性； （2）若 存在两个极值点 ，证明： 2.（2018?天津）已知函数 ， ，其中a>1. （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，证明 ； （Ⅲ）证明当 时，存在直线l ， 使l是曲线 的切线，也是曲线 的切线. 3.（2018?江苏）设{ }是首项为 ，公差为 的等差数列， 是首项 ，公比为q的等比数列 （1）??? 设 若 对n=1,2,3,4均成立，求d的取值范围 （2）?? 若 ， ， 证明：存在 ，使得 对 n=2，3，…， 均成立，并求 的取值范围（用 表示）。 4.（2018?江苏）记 分别为函数 的导函数.若存在 ，满足 且 ，则称 为函数 与 的一个“S点”. （1）证明：函数 与 不存在“S点”. （2）若函数 与 存在“S点”，求实数 的值. （3）已知函数 ， ，对任意 ，判断是否存在 ，使函数 与 在区间 内存在”S点”，并说明理由. 5.（2018?卷Ⅲ）如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点。 （1）证明:平面 平面 （2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由 6.（2018?上海）设常数t>2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线 ： ，l与x轴交于点A，与 交于点B，P、Q分别是曲线 与线段AB上的动点。 （1）用t表示点B到点F的距离； （2）设t=3， ，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积； （3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在 上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。 7.（2017·天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0 ， g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间； （Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0 ， 2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 ∈[1，x0）∪（x0 ， 2]，满足| ﹣x0|≥ ． 8.（2017?新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （Ⅰ）求a； （Ⅱ）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0 ， 且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2 ． 1.在代数综合问题中常遇到存在性问题.与恒成立问题类似，存在性问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法. 2.存在性问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： （1） （2） （3） （4） 3.存在性问题处理方法 （1）转换求函数的最值； （2）分离参数法； （3）转换成函数图象问题； （4）转化为恒成立问题 考点一：圆锥曲线 例1：已知椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，离心率 ，短轴长为 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）过 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，则 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线 的方程；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）第一问相对较简单，结合椭圆的基本性质和离心率计算公式便可以得到答案。（2）可以假设直线方程为x=my+1，结合第一问所求的椭圆的方程并代入， ... ...
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