8.4 直线、平面垂直的判定与性质 挖命题 【考情探究】 考点 内容解读 5年考情 预测 热度 考题示例 考向 关联考点 直线、平面垂直的判定与性质 1.以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线、面垂直的有关性质和判定定理 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 2018北京文,18 直线与平面垂直的判定与性质的应用 平面与平面垂直的判定和性质 ★★ 2017北京文,18 平面与平面垂直的判定与性质的应用 直线与平面的平行和垂直的判定和性质 2013北京文,17 空间几何体的体积问题 2012北京,16 折叠问题 分析解读 从北京高考试题来看,线线、线面、面面垂直的判定与性质是考查的重点之一.考查的具体内容可分为两个层次:一是将定义、判定和性质结合起来,以客观题的形式出现,判断某些命题的真假;二是以常见几何体为背景,以解答题的形式出现,证明几何体中直线、平面的垂直关系,充分考查线线、线面、面面之间的相互转化.属于中档题. 破考点 【考点集训】 考点 直线、平面垂直的判定与性质 1.(2013北京文,8,5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 答案 B 2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AC.过点A的平面与棱PB,PC,PD分别交于点E,F,G(E,F,G三点均不在棱的端点处). (1)求证:平面PAB⊥平面PBC; (2)若PC⊥平面AEFG,求的值; (3)直线AE是否能与平面PCD平行?请说明你的理由. 解析 (1)证明:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC. 因为四边形ABCD为正方形,所以AB⊥BC, 因为AB∩PA=A, 所以BC⊥平面PAB. 因为BC?平面PBC, 所以平面PAB⊥平面PBC. (2)连接AF. 因为PC⊥平面AEFG, 所以PC⊥AF. 又因为PA=AC, 所以F是PC的中点, 所以=. (3)直线AE与平面PCD不可能平行. 理由如下: 假设AE∥平面PCD. 因为AB∥CD,AB?平面PCD,CD?平面PCD, 所以AB∥平面PCD. 而AE,AB?平面PAB,且AB∩AE=A, 所以平面PAB∥平面PCD,这显然与平面PAB与平面PCD交于点P相矛盾, 所以假设不成立,即直线AE与平面PCD不可能平行. 思路分析 (1)根据面面垂直的判定定理易证. (2)根据线面垂直的性质及等腰三角形的性质可求. (3)反证法:假设AE∥平面PCD,易证AB∥平面PCD,进而推出平面PAB∥平面PCD,与已知相矛盾,从而证得结论. 解后反思 本题考查了空间中的垂直与平行关系,熟练掌握相关定理是解题的关键. 3.如图,在四棱锥P-ABCD中,△PBC是等腰三角形,且PB=PC=3.四边形ABCD是直角梯形,AB∥DC,AD⊥DC,AB=5,AD=4,DC=3. (1)求证:AB∥平面PDC; (2)当平面PBC⊥平面ABCD时,求四棱锥P-ABCD的体积; (3)请在图中所给的五个点P,A,B,C,D中找出两个点,使得这两点所在的直线与直线BC垂直,并给出证明. 解析 (1)证明:因为AB∥DC, 且AB?平面PDC,DC?平面PDC, 所以AB∥平面PDC. (2)取BC的中点F,连接PF. 因为PB=PC,所以PF⊥BC, 因为平面PBC⊥平面ABCD, 平面PBC∩平面ABCD=BC, 所以PF⊥平面ABCD. 在直角梯形ABCD中,过C作CH⊥AB于点H. 因为AB∥DC,且AD⊥DC,AD=4,DC=3,AB=5, 所以CH∥AD,所以四边形ADCH为平行四边形,所以AD=CH,DC=AH, 所以BC==2,且S梯形ABCD=×(3+5)×4=16. 又因为PB=3,BF=,所以PF=2. 所以VP-ABCD=S梯形ABCD·PF=×16×2=. (3)PA⊥BC. 证明如下:连接AF,AC. 在直角梯形ABCD中, 因为AB∥DC,且AD⊥DC,AD=4,CD=3, 所以AC=5. 因为AB=5,点F为BC的中点,所以AF⊥BC. 又因为BC⊥PF,AF∩PF=F,所以BC⊥平面PAF. 又因为PA?平面PAF,所以PA⊥BC. 炼技法 【方法集训】 方法1 证明线面垂直的方法 1.(2014浙江,6,5分)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( ) A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α C.若m⊥β ... ...
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