第二节 充分条件与必要条件、全称量词和存在量词 1.命题“?x∈R,x2-2x+4≤0”的否定为( ) A.?x∈R,x2-2x+4≥0 B.?x0∈R,-2x0+4>0 C.?x?R,x2-2x+4≥0 D.?x0?R,-2x0+4>0 答案 B———?x∈R,x2-2x+4≤0”是一个全称命题,其否定是一个特称命题为“?x0∈R,-2x0+4>0”,故选B. 2.下列四个命题中的真命题为( ) A.?x0∈Z,1<4x0<3 B.?x0∈Z,5x0+1=0 C.?x∈R,x2-1=0 D.?x∈R,x2+x+2>0 答案 D 选项A中,
0,则( ) A.命题?q:?x∈R,x2≤0,为假命题 B.命题?q:?x∈R,x2≤0,为真命题 C.命题?q:?x∈R,x2≤0,为假命题 D.命题?q:?x∈R,x2≤0,为真命题 答案 D 全称命题的否定是将“?”改为“?”,然后否定结论.当x=0时,x2≤0成立,所以?q为真命题,故选D. 5.如果x,y是实数,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 法一:设集合A={(x,y)|x≠y},B={(x,y)|cos x≠cos y},则A的补集C={(x,y)|x=y},B的补集D={(x,y)|cos x=cos y},显然C?D,所以B?A,于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件. 法二:(等价转化法)x=y?cos x=cos y,而cos x=cos y?x=y. 6.(2018西安八校联考)在△ABC中,“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 通解:设与>0,即||·||cos θ>0,所以cos θ>0,θ<90°,又θ为△ABC内角B的补角,所以∠B>90°,△ABC是钝角三角形;当△ABC为钝角三角形时,∠B不一定是钝角,所以“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件,故选A. 优解:由·>0,得·<0,所以∠B>90°,则△ABC是钝角三角形;当△ABC为钝角三角形时,∠B不一定是钝角.所以“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件,故选A. 7.“a=0”是“函数f(x)=sin x-+a为奇函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,当a=0时, f(x)=sin x-, f(-x)=sin(-x)-=-sin x+=-=-f(x),故f(x)为奇函数; 反之,当f(x)=sin x-+a为奇函数时, f(-x)+f(x)=0, 又f(-x)+f(x)=sin(-x)-+a+sin x-+a=2a,所以a=0, 所以“a=0”是“函数f(x)=sin x-+a为奇函数”的充要条件,故选C. 8.(2019辽宁五校协作体联考)已知命题“?x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围为( ) A.(-∞,0) B.[0,4] C.[4,+∞) D.(0,4) 答案 D 因为命题“?x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命题,所以其否定“?x∈R,4x2+(a-2)x+>0”是真命题,则Δ=(a-2)2-4×4×=a2-4a<0,解得0x+1”,则命题p是 .? 答案 ?x0∈(0,+∞),≤x0+1 解析 因为?p是p的否定,所以只需将全称量词变为存在量词,再对结论进行否定即可. 10.(2018北京高考)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的 .(填 “充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充分必要条件”或“既不充分也不必要条件”)? 答案 充分必要条件 解析 |a-3b|=|3a+b|?|a-3b|2=|3a+b|2?a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2?2a2+3a·b-2b2=0,∵|a|=|b|=1,∴a·b=0?a⊥b. 11.a2+b2=1是asin θ+bcos θ≤1恒成立的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)? 解析 因 ... ... 