2.函数与导数 1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏． [回扣问题1] 函数f(x)＝的定义域为_____． 解析 要使函数f(x)有意义，则log2x－1≥0，即x≥2，则函数f(x)的定义域是[2，＋∞)． 答案 [2，＋∞) 2．求函数解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程法等．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题． [回扣问题2] 已知f()＝x＋2，则f(x)＝_____． 答案 x2＋2x(x≥0) 3．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数． [回扣问题3] 已知函数f(x)＝ 则f ＝_____． 答案 4．函数的奇偶性 若f(x)的定义域关于原点对称， f(x)是偶函数?f(－x)＝f(x)＝f(|x|); f(x)是奇函数?f(－x)＝－f(x)； 定义域含0的奇函数满足f(0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，若其定义域关于原点对称，再找f(x)与f(－x)的关系． [回扣问题4] (1)若f(x)＝2x＋2－xlg a是奇函数，则实数a＝_____． (2)已知f(x)为偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，若f(lg x)＞f(1)，则x的取值范围是_____． 答案 (1) (2) 5．函数的周期性 由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)＝f(a＋x)(a≠0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得： ①函数f(x)满足－f(x)＝f(a＋x)，则f(x)是周期T＝2a的周期函数； ②若f(x＋a)＝(a≠0)成立，则T＝2a； ③若f(x＋a)＝－(a≠0)恒成立，则T＝2a. [回扣问题5] 函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为_____． 解析 因为函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函数f(x)的最小正周期是4.因为在区间(－2，2]上，f(x)＝所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f ＝cos ＝. 答案 6．函数的单调性 (1)定义法：设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2那么 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0?＞0?f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0?＜0?f(x)在[a，b]上是减函数． (2)导数法：注意f ′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0；∴f ′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件． (3)复合函数由同增异减的判定法则来判定． (4)求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替． [回扣问题6] (1)函数f(x)＝的单调减区间为_____． (2)已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案 (1)(－∞，0)，(0，＋∞) (2)D 7．求函数最值(值域)常用的方法： (1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数； (2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数； (3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数； (4)导数法：适合于可导函数； (5)换元法(特别注意新元的范围)； (6)分离常数法：适合于一次分式； (7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域． [回扣问题7] 函数y＝的值域为_____． 答案 (0，1) 8．函数图象的几种常见变换 (1)平移变换：左右平移———左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移———上加下减”． (2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)． (3)对称变换：①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对 ... ...
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