第11讲 函数与方程 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x)(x∈D),把使 的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点.? (2)等价关系 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图像与 有交点?函数y=f(x)有 .? (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数y=f(x)在区间 内有零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个 也就是方程f(x)=0的根.? 2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y= ax2+bx+ c(a>0) 的图像 与x轴的交点 ? ? 无交点 零点个数 ? ? ? 常用结论 1.在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点. 2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点. 题组一 常识题 1.[教材改编] 函数f(x)=ln x+2x-6的零点的个数是 .? 2.[教材改编] 如果函数f(x)=ex-1+4x-4的零点在区间(n,n+1)(n为整数)内,则n= .? 3.[教材改编] 函数f(x)=x3-2x2+x的零点是 .? 4.[教材改编] 若函数f(x)=x2-4x+a存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是 .? 题组二 常错题 ◆索引:错用零点存在性定理;误解函数零点的定义;忽略限制条件;二次函数在R上无零点的充要条件(判别式小于零). 5.函数f(x)=x+1x的零点个数是 .? 6.函数f(x)=x2-3x的零点是 .? 7.若二次函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在零点,则实数m的取值范围是 .? 8.若二次函数f(x)=x2+kx+k在R上无零点,则实数k的取值范围是 .? 探究点一 函数零点所在区间的判断 例1 (1)函数f(x)=ex-x-2在下列哪个区间上必有零点 ( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) (2)已知函数f(x)=lg x+54x-5在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则n= .? ? ? ? [总结反思] 判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2)零点存在性定理;(3)数形结合法,画出相应函数图像,观察与x轴交点来判断,或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断. 变式题 [2018·南昌模拟] 函数f(x)=ln(x+1)-2x2的零点所在的区间为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 探究点二 函数零点个数的讨论 例2 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f-32+x=f32+x,当x∈0,32时,f(x)=ln(x2-x+1),则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是 ( ) A.3 B.5 C.7 D.9 (2)[2018·河南中原名校模拟] 函数f(x)=sin2x+π2-log3πx的零点个数为 .? ? ? [总结反思] 函数零点个数的讨论,基本解法有:(1)直接法,令f(x)=0,有多少个解则有多少个零点;(2)定理法,利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图像法,一般是把函数分拆为两个简单函数,依据两函数图像的交点个数得出函数的零点个数. 变式题 (1)[2018·重庆巴蜀中学月考] 函数f(x)=3x-2e-x的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知函数f(x)=lnx,x>0,ex,x≤0,则函数g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2的零点个数为 .? 探究点三 函数零点的应用 例3 (1)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数a,b满足f(a)=g(b)=0,则 ( ) A.f(b)<01,2-ex,x≤1,若函数g(x)=f(x)-m(x-1)有两个零点,则实数m的取值范围是 ( ) A.(-2,0) B.(-1,0) C.(-2,0)∪(0,+∞) D.(-1,0)∪(0,+∞) ? ? [总结反思] 函数零点的应用主要体现在三类问题中:一是函数中不含参数,零点又不易直接求出,考查各零点的和或范围问题;二是函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;三是函数中有参数,但不求参数,仍是考查零点 ... ...
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