第17讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ? (2)分类:按旋转方向分为 、 和零角;按终边位置分为 和轴线角.? (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S= . ? 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于 的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad. ? (2)公式: 角α的弧度数的绝对值 |α|=lr(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°=π180 rad,②1 rad=180π° 弧长公式 弧长l= ? 扇形面积公式 S=12lr=12|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin α= ,cos α= ,tan α=yx(x≠0).? (2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-17-1中的有向线段OM,MP,AT分别称为角α的 、 和 .? (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) 图3-17-1 常用结论 象限角与轴线角 (1)象限角 (2)轴线角 题组一 常识题 1.[教材改编] 终边落在第一象限角平分线上的角的集合是 .? 2.[教材改编] (1)67°30'= rad;(2)π12= °.? 3.[教材改编] 半径为120 mm的圆上长为144 mm的弧所对圆心角α的弧度数是 .? 4.[教材改编] 若角α的终边经过点P(-1,2),则sin α-cos α+tan α= .? 题组二 常错题 ◆索引:对角的范围把握不准;不能据函数值的符号确定角所在的象限;不熟悉角在不同象限时对应的三角函数值的符号;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错. 5.在△ABC中,若sin A=22,则A= .? 6.已知P(-3,y)为角β的终边上的一点,且sin β=1313,则y= .? 7.当α为第二象限角时,|sinα|sinα-cosα|cosα|的值是 .? 8.若一扇形的圆心角为72°,半径为20 cm,则扇形的面积为 cm2.? 探究点一 角的集合表示及象限角的判定 例1 (1)[2018·长春一模] 若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-3x上,则角α的所有取值的集合是 ( ) A.αα=2kπ-π3,k∈Z B.α|α=2kπ+2π3,k∈Z C.α|α=kπ-2π3,k∈Z D.α|α=kπ-π3,k∈Z (2)集合α|kπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是 ( ) A B C D 图3-17-2 ? ? ? [总结反思] (1)角α(0≤α<2π)与角2kπ+α(k∈Z)的终边相同; (2)要求角β所在的象限,只需将角β表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,则角α所在的象限即为角β所在的象限. 变式题 (1)设集合M=x|x=k2·180°+45°,k∈Z,N=x|x=k4·180°+45°,k∈Z,那么 ( ) A.M=N B.M?N C.N?M D.M∩N=? (2)若角α的终边在x轴的上方,则α2是第 象限角.? 探究点二 扇形的弧长、面积公式 例2 (1)若圆弧长度等于该圆内接等腰直角三角形的周长,则其圆心角的弧度数是 .? (2)已知扇形的圆心角为60°,其弧长为π,则此扇形的面积为 .? ? ? ? [总结反思] 应用弧度制解决问题的策略:(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度;(2)涉及求扇形面积最大值的问题,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决;(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. 变式题 (1)将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( ) A.π3 B.π6 C.-π3 D.-π6 (2)若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时,扇形圆心角的弧度数是 .? 探究点三 三角函数的定义 角度1 三角函数定义的应用 例3 (1)[2018·济南二模] 已知角α的终边经过点P(m,-2m),其中m≠0,则s ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
