第23讲 正弦定理和余弦定理 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 公式 asinA= = =2R(其中R是△ABC的外接圆的半径)? a2= ,? b2= ,? c2= ? 定理 的变 形 a=2Rsin A,b= ,c= ,a∶b∶c=? ? cos A= ,? cos B= ,? cos C= ? 2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下: A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A
b 解的个数 ? ? ? ? 3.三角形面积公式 (1)S=12ah(h表示边a上的高); (2)S=12bcsin A=12acsin B=12absin C; (3)S=12r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径). 常用结论 1.三角形内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π; 变形:A+B2=π2-C2. 2.三角形中的三角函数关系: (1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C; (3)sin A+B2=cos C2;(4)cos A+B2=sin C2. 3.三角形中的射影定理 在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B. 题组一 常识题 1.[教材改编] 在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的边长等于 .? 2.[教材改编] 在△ABC中,已知a=5,b=23,C=30°,则c= .? 3.[教材改编] 在△ABC中,已知a2-c2+b2=ab,则C等于 .? 4.[教材改编] 在△ABC中,已知a=32,b=23,cos C=13,则△ABC的面积为 .? 题组二 常错题 ◆索引:在△ABC中角与角的正弦的关系弄错;利用正弦定理求角时解的个数弄错;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应 关系弄错;三角形中的三角函数关系弄错. 5.在△ABC中,若sin A=sin B,则A,B的关系为 ;若sin A>sin B,则A,B的关系为 .? 6.在△ABC中,若A=60°,a=43,b=42,则B等于 .? 7.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,则c= ,△ABC的面积等于 .? 8.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若ccos A=b,则△ABC为 三角形.? 探究点一 利用正弦、余弦定理解三角形 例1 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3,且b2+c2=3+bc. (1)求角A的大小; (2)求bsin C的最大值. ? ? ? [总结反思] (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解. 变式题 (1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=23,c=22,1+tanAtanB=2cb,则C= ( ) A.π6 B.π4 C.π4或3π4 D.π3 (2)[2018·衡水中学月考] 已知△ABC满足BC·AC=22,若C=3π4,sinAsinB=12cos(A+B),则AB= .? 探究点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 例2 已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若sin B·sin C=sin2A,则△ABC的形状是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 ? ? ? [总结反思] 判断三角形的形状主要从两个角度考虑:(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论. 变式题 在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若tanAtanB=a2b2,则△ABC是 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形 探究点三 与三角形面积有关的问题 例3 [2018·洛阳三模] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c且bsin ... ... 