专题11 勾股定理的应用 知识解读 无论是解决实际问题，还是解决一些数学问题，勾股定理都有着广泛的应用。 培优学案 典列示范 一、在数轴上作出表示的点 例1如图3－11－1，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） A.2.5 B. C. D. 【提示】这个点到原点的距离等于线段OB的长，OB是Rt△AOB的斜边，根据勾股定理可得OB的长，就是这个点表示的实数。 【技巧点评】 实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到它对应的点，若要在数轴上直接标出无理数对应的点较难.由此我们借助勾股定理，将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题。 第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形； 第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点。 跟踪训练 1.如图3－11－2，以数轴的单位长线段和单位长线段的两倍为边作一个长方形，以数轴的原点为圆心、长方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ） A. B.2.2 C. D. 二、在网格中作长度为无理数的线段 例2如图3－11－3，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形。 （1）使三角形的三边长分别为3，，；（在图①中画一个即可） （2）使三角形为钝角三角形且面积为4.（在图②中画一个即可） 【提示】（1）长度为3的线段很好作，主要考虑如何作出长度为，的线段和把三条线段组合成一个三角形。由于＝8＝22＋22，因此可以构造一个两直角边分别为2和2的直角三角形，这个直角三角形的斜边长就是.同理要构造一个长度为的线段，可构造一个直角边分别为2和1的直角三角形。 （2）确定三角形的底和高分别为1和8或2和4，然后设法使三角形称为钝角三角形。 【解答】 【技巧点评】在网格中作出长的线段的步骤，第一步设法将n表示成两个整数的平方和；第二步构造直角三角形，使得两条直角边等于第一步得出的两个整数的值. 跟踪训练 2.如图3－11－4，每个小正方形的边长均为a，连接小正方形的三个顶点得△ABC，则AB边上的高是（ ） A. B. C. D. 三、梯子下滑问题 例3如图3－11－5，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时，梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足也将向外移0.4米吗？ 【提示】本题中出现两个直角三角形，考虑应用勾股定理，在Rt△ABC中，由AB和BC可求出AC，则 A1C＝AC－AA1，而A1B1与AB均为梯子之长，在Rt△A1B1C中，再次运用勾股定理求出B1C，由此便可求出梯子向外移动的距离BB1. 【解答】 【技巧点评】 梯子下滑问题，实际上是两个直角三角形问题，比如在本题中，两个直角三角形之间的联系是，AC=A1C+0.4，分别在两个直角三角形中应用勾股定理求出AC，A1C，即可解决问题. 跟踪训练 3.如图3-11-6，一个3m长的梯子AB，斜着靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m至C，那么梯子的底端B也外移0.5m吗？为什么？ 四、长方体的对角线 例4 有一根长170cm的木棒，放在长、宽、高分别是40cm，30cm，120cm的木箱中，露在木箱外边的长度至少为 cm. 【提示】如图3-11-7，△A′B′C′和△AA′C′是直角三角形，先在△A′B′C′中应用勾股定理求出A′C′的长，然后在△AA′C′中应用勾股定理求出AC′的长. 【技巧点评】 长宽高分别为a，b，c的长方体的对角线长. 跟踪训练 一个长方体的表面积是11，所有棱长的长度之和为24，则它的一条对角线长为（ ） A.23 B.14 C.5 ... ...
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