专题19 四边形综合题破解策略 递进式———实际上就是将一个复杂问题加了个台阶 例1如图4-19-1，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°.点E是DC的中点，过点作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M.点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA （1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB； （2）求证：∠MPB=90°-∠FCM. 【提示】先看第（1）题，从待证结论看：由于∠ABM=90°，要证明AM=2MB，很显然需要证明∠MAB=30°；从条件看，由于ME垂直平分CD，可考虑连接MD，得到MD=MC，接着证明△DAMQ△CFM.即可证得∠DAM=120°，从而获证。再看第（2）题，如果不考虑第（1）问的结论，直接证明第（2）题，这题确实不容易证明，要证明“∠MPB = 90*-号∠FCM”，由于∠MPB=90°-∠PMB，而∠PMB=号∠DMC，联想到第（1）题证明了“△DAM经△CFM”，∠FCM=∠ADM，最后根据AD/BC可把由已知推得的结论和证明需要的条件对接起来，完成本题的证明. 【解答】 【技巧点评】 现在的中考试卷，大多数综合题的设置都是递进式，在证明的过程中，当证明后面的问题比较困难的时候，尝试着从前面已经证得的结论入手，寻找解决问题的途径。 跟踪训练 1.如图4-19-2，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点 O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F. （1）求证：△AOE≌△COF； （2）若∠EOD=30°，求CE的长. 二、图形与几何 例2如图4-19-3①，已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG. （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图4-19-3②所示，取DF中点G，连接EG，CG.问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图4-19-3③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 【提示】对于第（1）小题，可利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得EG和CG都等于DF的对于第（2）题，辅助线作法有以下几种。 【技巧点评】 在第（2）个问题中，如图⑥，由于G点是DF的中点，延长EG交AD的延长线相交于点M可构造全等三角形，如果能证明△ECM是等腰直角三角形，即可证明CG与EG垂直且相等。即先证明△GEF≌△GMD，再证明△EBC≌△MDC. 这种解法尽管比前面的方法繁琐一些，但它却也能解决（1）-（3）问，也就说，这是三个问题的通用解法。 如图⑦，图③，延长EG到点M，使得GM=EG，连接DM，CE，CM，然后同样先证明△GEF≌△GMD,再证明△EBC≌△MDC.即可证明CG与EG既相等又垂直. 本题中的三个图是彼此有联系的三幅图，很显然，命题者是希望采用后面这种解法.另外本题也可以延长CG到点M，使得GM=CG，然后连接CE，EM，证明△CEM是等腰直角三角形。这种解法和刚才的解法原理是相同的.在选择解决问题方法的时候，应该尽可能寻找解决问题的一些通性、通法，这样才能更好地积累解题经验，毕竟数学学习的过程就是一个解题经验不断积累的过程. 跟踪训练 2.（1）如图图4-19-6①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连接EF，AG.求证：EF=FG. （2）如图②，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°.若BM=1，CN=3，求MN的长. 温馨提示：解答第（2）题时，回忆一下第（1）题的解答方法 三、积累基本图形，为寻找解题思路铺路 例3已知矩形ABCD的一边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处。 （1）若图4-19-5①中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数； （2）如图4-19-5②，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP，动点M在线段AP上（点M与点P，A不重合），动点N在线段AB的延 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
