9.4 动点综合问题 动点综合问题是以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的函数等其他关系；;或变量在一定条件为定值时，进行相关的计算和综合解答。解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解。在中考数学中，主要涉及三类问题，一是动点问题中的特殊图形问题；二是动点问题中的计算问题；三是动点问题中函数问题。其解决的方法是与几何相关的问题，不仅包含众多的知识点，更需要通过添加辅助线来解决，还需要进行转化，即把复杂图形转化成基本图形来解决；而与函数有关的问题，要利用函数的图象和性质进行求解或证明，必要时可添加辅助线加以解决。 1．（2016?北京）在等边△ABC中， （1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数； （2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM． ①依题意将图2补全； ②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：要证明PA=PM，只需证△APM是等边三角形； 想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明PA=PM，只需证△ANP≌△PCM； 想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA=PM，只需证PA=CK，PM=CK… 请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA=PM（一种方法即可）． 2．（2016?盐城）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=22，以点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F． （1）求∠ABE的大小及DEF的长度； （2）在BE的延长线上取一点G，使得DE上的一个动点P到点G的最短距离为22?2，求BG的长． 3．（2016?金华）由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度为AB=DE=1米，BC=CD=EF=FA=2米．（铰接点长度忽略不计） （1）转动钢管得到三角形钢架，如图1,则点A，E之间的距离是_____米． （2）转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动,则所用三根钢条总长度的最小值是_____ 米． 4．（2017?江西）如图1，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D． （1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长； （2）如图3，当弧DC=弧AC时，延长AB至点E，使BE=12AB，连接DE． ①求证：DE是⊙O的切线； ②求PC的长． 5．（2017?淄博）如图，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合（点P不与点C，D重合），折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，连接MB，MP，BP，BP与MN相交于点F． （1）求证：△BFN∽△BCP； （2）①在图2中，作出经过M，D，P三点的⊙O（要求保留作图痕迹，不写做法）； ②设AB=4，随着点P在CD上的运动，若①中的⊙O恰好与BM，BC同时相切，求此时DP的长． 6．（2017?菏泽）正方形的边长为，点分别是线段上的动点，连接并延长，交边于，过作，垂足为，交边于点. （1）如图1，若点与点重合，求证：； （2）如图2，若点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，运动时间为. ①设,求关于t的函数表达式； ②当时，连接，求的长. 7．（2018?荆州）阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P（x1，y1）、 Q（x2，y2），则P、Q这两点间的距离为|PQ|=x1?x22+y1?y22．如P（1，2），Q（3，4），则|PQ|=1?32+2?42=22． 对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线 ... ...
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