第一章 三角形的证明复习学案（含答案）

第一章　三角形的证明 　　1.等腰三角形的性质与判定的应用 (1)应用等腰三角形的性质证明线段或角相等 【例1】如图，∠ABC=90°①，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD=DE②.点F是AE的中点③，FD与AB相交于点M. (1)求证：∠FMC=∠FCM. (2)AD与MC垂直吗④?并说明理由⑤. 【信息解读·破译解题秘钥】 信息①直译为：△ABC是直角三角形，进而得到∠DCF与∠MAC互余； 信息②翻译为：△ADE是等腰直角三角形； 信息③直译为：AF=EF； 破译：整合条件②③，得到DF⊥AE，DF=AF=EF. 破译：整合条件①②③，得到∠AMF与∠MAC互余，结合①可得∠DCF=∠AMF，根据“AAS”定理判定△DFC≌△AFM，进而得到∠FMC=∠FCM. 信息④翻译为：猜想结论“AD⊥MC”. 信息⑤翻译为：根据已知条件，构建图形：延长AD交MC于点G，进而推理说明“AD⊥MC”. 破译：整合条件①②③④，得到∠FDE=∠FMC=45°，进而得到DE∥CM，说明AG⊥MC，即AD⊥MC. 【标准解答】(1)∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点， ∴DF⊥AE，DF=AF=EF. 又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF=∠AMF. 又∵∠DFC=∠AFM=90°，∴△DFC≌△AFM(AAS).∴CF=MF. ∴∠FMC=∠FCM. (2)AD⊥MC. 理由如下：如图，延长AD交MC于点G. 由(1)知∠MFC=90°，FD=FE，FM=FC. ∴∠FDE=∠FMC=45°，∴DE∥CM.∴∠AGC=∠ADE=90°，∴AG⊥MC，即AD⊥MC. (2)判定一个三角形是否为等腰三角形时，我们经常首先考虑等腰三角形的定义，其次考虑等腰三角形的判定定理. 【例2】已知：如图，在△ABC中，点D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC. 【标准解答】∵AD平分∠EDC， ∴∠ADE=∠ADC，∵DE=DC，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴∠C=∠E， ∵∠E=∠B.∴∠C=∠B，∴AB=AC. (3)等边三角形的性质与判定 等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具备“三线合一”的性质外，还能提供更多的边、角关系，特别是60°的角. 【例3】如图，点E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点①，且BE=AF②，CE，BF交于点P. (1)求证：CE=BF. (2)求∠BPC的度数. 条件①翻译为：AB=BC③=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°④； 条件②直译为：BE=AF⑤， 破译：整合条件①④，得到∠FAB=∠EBC⑥， 破译：整合条件②③⑥，应用“SAS”定理，判定△BCE≌△ABF⑦. 信息⑦翻译为：CE=BF，∠PCB=∠ABF⑧； 破译：读图、析图得，∠PBC+∠ABF=60°⑨， ∠CPB+∠PCB+∠PBC=180°⑩， 破译：整合信息⑧⑨得∠PCB+∠PBC=∠ABF+∠PBC=60， 破译：整合信息⑩?得到： ∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB) =180°-60°=120°. 【标准解答】(1)∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°， 在△BCE与△ABF中， ∴△BCE≌△ABF(SAS)，∴CE=BF. (2)由(1)知△BCE≌△ABF， ∴∠BCE=∠ABF，∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°， ∴∠BPC=180°-60°=120°. 1.在等边△ABC中，点D是AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转 60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4，则下列结论错误的是(　　) A.AE∥BC B.∠ADE=∠BDC C.△BDE是等边三角形 D.△ADE的周长是9 2.如图，已知：在△ABC中，AB=AC，点M是BC的中点，点D，E分别是AB，AC边上的点，且BD=CE，求证：MD=ME. 　　2.分类讨论思想在等腰三角形中的应用 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在求解有关等腰三角形的问题时经常要注意分类讨论. (1)已知等腰三角形的一角求另两角：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解. 【例1】已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数为(　　) A.55°，55°　　　　　　　 B.70°，40° C.55°，55°或70°，40 ... ...