河北省石家庄市2019届高三4月模拟考试（一）数学理试题（PDF版）

石家庄 2019 届高中毕业班模拟考试（一） 理科数学答案 一、选择题 A卷答案：1-5 CDACB 6-10BCCBD 11-12DA B卷答案：1-5 CDBCA 6-10ACCAD 11-12DB 二、填空题 13. 1 14. ? ?1 2 2 y x? ? 或 ? ?1 2 2 y x? ? ? 15. 2 16. 10 三、解答题 17. 解: （1） ∵△ABC 三内角 A、B、C 依次成等差数列，∴B=60° 设 A、B、C所对的边分别为 a、b、 c ,由 3 3S ? = 1 sin 2 ac B可得 12ac ? .……2分 ∵ sin 3sinC A? ，由正弦定理知 3c a? ，∴ 2, 6a c? ? . ……4 分 △ABC 中，由余弦定理可得 2 2 2 2 cos 28b a c ac B? ? ? ? ，∴b=2 7 . 即 AC的长为 2 7 ……6 分 （2）∵BD 是 AC 边上的中线，∴ 1 ( ) 2 BD BC BA? ? ???? ???? ???? ……8 分 ∴ 2 2 21 ( 2 ) 4 BD BC BA BC BA? ? ? ? ???? ???? ???? ???? ???? = 2 21 ( 2 cos ) 4 a c ac B? ? = 2 21 ( ) 4 a c ac? ? 1 (2 ) 9 4 ac ac? ? ? ，当且仅当 a c? 时取“=” ……10 分 ∴ 3BD ? ???? ,即 BD 长的最小值为 3. ……12 分 18. 解：（1）证明：在 PBC? 中， 60oPBC? ? ， 2BC ? ， 4PB ? ，由余弦定理可得 2 3PC ? ， 2 2 2PC BC PB? ?? ， PC BC? ? ，…………2分 ,PC AB AB BC B? ? ??又 ， PC ABC? ?平面 ， PC PAC?? 平面 ， PAC ABC? ?平面 平面 .…………4 分 （2）法 1：在平面 ABC中，过点C作CM CA? ，以 , ,CA CM CP所在的直线分别为 zyx ,, 轴建立空间直角坐标系C xyz? 如图所示： (0,0,0), (0,0,2 3), (2,0,0), (1, 3,0)C P A B (1,0, 3)F， …………6分 设平面 PBC的一个法向量为 1 1 1( , , )x y z?m 则 1 1 1 3 0 2 3 0 CB x y CP z ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ???? ???? m m 解得 1 3x ? ， 1 1y ? ? ， 1 0z ? 即 ( 3, 1,0)? ?m …………8 分 设平面 BCF的一个法向量为 2 2 2( , , )x y z?n 则 2 2 2 2 3 0 3 0 CB x y CF x z ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ???? ???? n n 解得 2 3x ? ， 2 1y ? ? ， 2 1z ? ? 即 ( 3, 1, 1)? ? ?n …………10 分 ? ? ? ?2 2 3 1 0 2 5cos 52 3 1 1 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?m n m n m n 由图可知二面角 P BC F? ? 为锐角，所以二面角P BC F? ? 的余弦值为 2 5 5 。……12 分 法 2：由（1）可知平面 PBC ?平面 ABC， 所以二面角 P BC F? ? 的余弦值就是二面角 A BC F? ? 的正弦值，…………6分 作 FM AC? 于点M ，则 FM ?平面 ABC， 作MN BC? 于点 N ，连接 FN ，则 FN BC? ? FNM? 为二面角 A BC F? ? 的平面角；…………8分 ?点F 为 PA中点，?点M 为 AC中点， 在 Rt FMN? 中， 1 3 2 FM PC? ?? ， 3 2 MN ? ， 15 2 FN? ? …………10 分 2 5sin 5 FMFNM FN ? ? ? ? ,所以二面角 P BC F? ? 的余弦值为 2 5 5 。…………12 分 19. 解答：根据题意可得 P A B C z x y M F P A B C F M N 1 1 1( 30) 5 5 25 1 3 3( 31) 2 5 10 25 1 2 3 3 1( 32) 2 5 5 10 10 4 1 1 3 2 7( 33) 2 2 5 10 10 5 25 3 1 2 2 11( 34) 2 10 10 5 5 50 2 1 2( 35) 2 5 10 25 1 1 1( 36) 10 10 100 P P P P P P P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……..部分对给 2 分，全对给 4 分 ? 的分布列如下： ? 30 31 32 33 34 35 36 p 1 25 3 25 1 4 7 25 11 50 2 25 1 100 …………………………………5 分 1 3 1 7 11 2 1( ) 30 31 32 33 34 35 36 32.8 25 25 4 25 50 25 100 E x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……6 分 （2）当购进 32 份时，利润为 ? ? ? ?21 3 132 4 31 4 8 30 4 16 107.52 13.92 4.16 125.6 25 25 25 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……8分 当购进 33 份时，利润为 ? ? ? ? ? ?59 1 3 133 4 32 4 8 31 4 16 30 4 24 77.88 30 12.96 3.84 124.68 100 4 25 25 ? ? ? ? ? ? ... ...