专题3 直线、射线、线段 知识解读 1.与直线、射线、线段有关的规律 与直线、射线、线段有关的规律题众多，解决这类问题的办法是：先写出具体的实例，再归纳这些实例的共同的特点来探求其中的规律. 2.线段公理的运用 两点之间，线段最短.探求最短路径、最小距离等问题常用到这个公理. 3.列方程解决线段计算问题 在无法通过和差倍分来直接计算线段的长度时，经常需要设未知数，构造方程来求解. 4.设参数解决线段计算问题 当题目中未知的线段比较多时，通过增设参数，能使题目变得简单易解。 培优学案 典例示范 1.与直线、射线、线段有关的规律 例1平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？ 提示：通过画图可知：两条直线只有一个交点， 第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2； 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3； 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4； 由此断定n条直线两两相交，最多有交点（1＋2＋3＋…＋n－1）个. 【技巧点评】 画图探求，从简单情形考虑，通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论. 跟踪训练 1.（1）8条直线最多能把平面分成多少个区域？ （2）n条直线最多能把平面分成多少个区域？ 2.线段公理的运用 例2 将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形。求其中最长的一段的取值范围. 提示：如图3-1，设AB是所围成的五边形ABCDE的最长边，而线段BC，CD，DE，EA则可看成是点A，B之间的一条折线，根据“两点之间，线段最短”有： AB＜BC＋CD＋DE＋EA. 【技巧点评】 将求最长线段AB的取值范围转化成A，B两点间由两条不同的线相连接：线段AB和折线AEDCB，再运用线段公理来解决。 跟踪训练 直线a上有四个不同的点，依次为A，B，C，D.那么到A，B，C，D的距离之和最小的点（ ） A.可以是线段AD外的某一点 B.只是B点和C点 C.只是线段AD的中点 D.有无数多个点 3.列方程解决线段计算问题 例3如图3-2，B，C两点把线段AD分成2：3：4三部分，点E是线段AD的中点，EC=2cm. 求：（1）AD的长；（2）AB:BE. 提示：根据条件AB:BC:CD=2：3：4，设AB=2x，注意到E是AD中点，从而可将BC，CD，AD，AE都用含x的式子表示出来，再由AC，AE，EC的关系建立方程，从而求解。 【技巧点评】 本题关键是根据给出的比例关系巧设未知数x，进而把相关线段用含x的式子表示出来，再由AC－AE=EC列出方程来求出x.要注意方程思想在解题中的应用。 跟踪训练 3.如图3-3，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，求线段AC的长度. 4.设参数解决线段计算问题 例4已知点C在直线AB上，且AC＞BC，线段AB=a，点M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长度。 提示：点C在直线AB上，有两种可能（见图3-4）.设BC=b，则可表示出AC，进而表示出MC和NC，从而求出MN. 【技巧点评】 本题可采用整体法，将AC＋BC（或AC－BC）看成一个整体来求解.设BC=b，引入这个参数后，解题更方便. 跟踪训练 4.如图3-5，点C在线段AB上，BC=10，点M，N分别是AB，AC的中点，求MN的长。 培优训练 1.（2017·贵州黔南）如图3-6，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是（ ） A.两点之间，线段最短 B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.过一点有且只有一条直线和已知直线平行 2.（2014·湖南长沙）如图3-7，C，D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB＝10cm，BC＝4cm，则AD的长为（ ） A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm 3.（2013·武汉）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点….那么六条直线最多有（ ） A.21个交点 B.18个交点 C.15个交点 D.10个交点 4.某公司员工分 ... ...
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