理数 参考答案与评分标准 一、选择题DAABC BDADB DC 二、填空题13. 8 14. 15. 16. 三、解答题 17.解：（Ⅰ）由正弦定理得：所以，，……3分 所以，所以……………6分 （Ⅱ）设，则，所以 解得：所以………………………12分 18. 解：（I）估计第一车间生产时间小于75min的工人人数为 （人）…………………………………………………2分 估计第二车间生产时间小于75min的工人人数为 （人）………………………………4分 （II）第一车间生产时间平均值约为 （min）……………………5分 第二车间生产时间平均值约为 （min）………6分 ∵，∴第二车间工人生产效率更高………………………8分 （III）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75min的工人有6人，其中生产时间小于65min的有2人，从中抽取3人，随机变量X服从超几何分布， X可取值为0，1，2， ，………………………………………………9分 ，……………………………………………10分 ………………………………………………11分 X的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望………………………………12分 19. （I）证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O， ，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE， ∴△ADE为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中，， ∴在等腰中， ∴即， ∴，……………………………2分 翻折后可得：，又，，，， ，；……………4分 （II）解：在平面POB内作，垂足为， ，，平面,平面 ，∴直线PB与平面ABCE夹角为，又，， ∴O、Q两点重合，即，……………6分 以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为 ，，， ∴，， 设平面PCE的一个法向量为， 则，即，设，则，， ∴，…………………………………………………………8分 由题意得平面PAE的一个法向量，………………………9分 设二面角A-EP-C为，…………11分 易知二面角A-EP-C为钝角，所以………………………12分 20．解：（I）法一：设，，，， 直线：①………………………………1分 直线：②………………………………2分 得，又， ， 整理得点N的轨迹方程为：（）……………………6分 法二：设，，，， 直线：……① 直线：……② 由①，②解得：，又， ，……………………………………………………………4分 故，代入得：， 点N的轨迹方程为（）…………………………6分 法三：设直线：，则直线：① 直线与椭圆C：的交点M的坐标为 ，……………………………………………………2分 则直线的斜率为， 直线：……② 由①，②解得N点的坐标为，………………4分 由解得： 点N的轨迹方程为：（）…………………………6分 （II）法一：设，，由（I）法二得： 四边形的面积，……10分 ，当时，的最大值为.……………12分 法二：由（I）法三得：四边形的面积 ……………………………………………………………………………10分 当且仅当时，取得最大值.…………………………12分 21.解：（Ⅰ）， ∵ ∴①当时，在上恒成立， ∴在上单调递减，无单调递增区间；…………………1分 ②当，且，即时，在上恒成立， ∴在上单调递减，无单调递增区间；………………2分 ③当，且，即时，在上，，在上，，∴在上单调递减，上单调递增 ……3分 综上，当时，在上单调递减，无单调递增区间； 当时，在上单调递减，上单调递增……4分 （Ⅱ）∵是的极值点， ∴由（1）可知， ∴ 设曲线在处的切线方程为， 曲线在处的切线方程为 ∴若这两条切线互相平行，则,∴ ∵,且，∴，∴， ∴…………………………………………………………………5分 两条切线在轴上的截距： 令，则，同理，………………7分 法一：∵， ∴ 设，…………………………9分 ∴ ∴在区间上单调递减，……………………………… ... ...
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