7.3正切函数的诱导公式

7.3　正切函数的诱导公式 内容要求　1.借助单位圆中的三角函数线推导出正切函数的诱导公式(重点).2.掌握正切函数的诱导公式(难点)． 知识点1　正切函数的诱导公式 函数角 y＝tan x 记忆口诀 kπ＋α tan α 函数名不变，符号看象限 2π＋α tan α －α －tan α π－α －tan α π＋α tan α ＋α －cot α 函数名改变，符号看象限 －α cot α 【预习评价】 1．下列诱导公式中错误的是(　　) A．tan(π－α)＝－tan α B．cos＝sin α C．sin(π＋α)＝－sin α D．cos(π－α)＝－cos α 答案　B 2．tan等于(　　) A．－cot α B．cot α C．tan α D．－tan α 答案　A 题型一　三角函数间关系的应用 【例1】　已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3，y)，且tan α＝－. (1)求sin α＋cos α的值； (2)求的值． 解　(1)因为tan α＝＝－，所以y＝－4，则r＝5. ∴sin α＝－，cos α＝，则sin α＋cos α＝－. (2)原式＝＝＝＝＝－10. 规律方法　三角函数之间关系的应用 利用三个三角函数之间的关系：tan α＝进行弦切互化：正用可以做到切化弦，逆用可以做到弦化切． 【训练1】　已知α为第二象限角，且tan α－＝， 求的值． 解　由tan α－＝， 得4tan2α－15tan α－4＝0， 得tan α＝－或tan α＝4. 又α为第二象限的角， 所以tan α＝－. 故＝ ＝＝. 题型二　利用诱导公式求值 【例2】　求以下各式的值： (1)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； (2). 解　(1)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°) ＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45° ＝0－3×1＋1＝－2. (2)原式＝ ＝＝＝2＋. 规律方法　(1)熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键． (2)无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意的三角函数值转化为锐角的三角函数值． 【训练2】　(1)tanπ＋tan的值为(　　) A．－ B．0 C. D．－ (2)若f(x)＝tan x，则f(600°)的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 解析　(1)tan π＋tan ＝tan＋tan ＝tan－tan ＝－－＝－，故选D. (2)f(600°)＝tan 600°＝tan(720°－120°)＝tan(－120°)＝. 答案　(1)D　(2)C 方向1　化简 【例3－1】　(1)化简： ； (2)若a＝，求a2＋a＋1的值． 解　(1) ＝ ＝ ＝＝1 (2)a＝ ＝ ＝ ＝＝1， ∴a2＋a＋1＝1＋1＋1＝3. 方向2　证明 【例3－2】　＝－tan α. 证明　左边＝ ＝ ＝ ＝＝＝－tan α＝右边． ∴原等式成立． 方向3　化简并求值 【例3－3】　已知α是第三象限角，且f(α)＝ . (1)化简f(α); (2)若tan(π－α)＝－2，求f(α)的值; (3)若α＝－120°，求f(α)的值．(注：对任意角α有sin2α＋cos2α＝1成立) 解　(1)f(α) ＝ ＝＝－cos α. (2)因为tan(π－α)＝－2， 所以tan α＝2.所以sin α＝2cos α， 所以(2cos α)2＋cos2α＝1，即cos2α＝. 因为α是第三象限角，所以cos α＝－，所以f(α)＝. (3)因为cos(－120°)＝cos 120°＝－cos 60°＝－， 所以f(α)＝－cos α＝. 规律方法　1.三角函数式化简的常用方法 (1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． 2．三角恒等式的证明策略 在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则． 定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法． 课堂达标 1．tan 300°＋sin 450°的值为(　　) A．1＋ B．1－ C．－1－ D．－1＋ 解析　tan 300°＋sin 450° ＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°) ＝－tan 60°＋sin 90°＝1－. 答案　B 2．公式tan(π－α)＝－tan α成立的条件是(　　) A．α为锐角 B．α为不等于的任意角 C．α为任意角 ... ...