1. 如图，抛物线＝(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A坐标为(4，0)． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN最小，并求出点K的坐标； (3)已知D是OA的中点，点P在第一象限的抛物线上，过点P作x轴的平行线，交直线AC于点F，连接OF，DF.当OF＝DF时，求点P的坐标． 第1题图 解：(1)∵抛物线y＝ax－2ax＋c经过点A(4，0)，C(0，4)， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x＋x＋4； (2)y＝－x＋x＋4＝－(x－1)＋， ∴N(1，)， 如解图①，作点C关于x轴的对称点C′，则C′(0，－4)，连接C′N交x轴于点K，则K点即为使CK＋KN最小的K点位置． 第1题解图① 设直线C′N的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点C′(0，－4)，N(1，)代入，得 解得 ∴直线C′N的解析式为y＝x－4， 令y＝0，即x－4＝0，解得x＝， ∴点K的坐标为(，0)； (3)如解图②，过F作FM⊥x轴于M， ∵D是OA的中点， 第1题解图② ∴D(2，0)， ∵OF＝DF， ∴OM＝MD， ∴M(1，0)， ∴点F的横坐标是1. 设直线AC的解析式为y＝mx＋n， 将点A(4，0)，C(0，4)代入， 得直线AC的解析式为y＝－x＋4， ∴点F的坐标为(1，3)， 设P(t，－＋t＋4)，则 －＋t＋4＝3，解得t＝1＋或t＝1－(舍去)， ∴点P的坐标为(1＋，3)． 2.如图，抛物线与x轴交于点A和点B (1，0)，与y轴交于点C(0，3)，其对称轴l为x＝－1. (1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标； (2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上． ①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标； ②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标． 第2题图 解：(1)∵抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于点B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，其对称轴l为直线x＝－1， ∴抛物线的解析式为y＝－x－2x＋3＝－(x＋1)＋4， ∴顶点坐标为(－1，4)； (2)令y＝－x－2x＋3＝0， 解得x＝－3，x＝1， ∴点A(－3，0)， 如解图，作PD⊥x轴于点D，对称轴l与x轴交于点Q，连接AC、OP， 第2题解图 ∵点P在y＝－x－2x＋3上， ∴设点P(x，－x－2x＋3)， ①∵PA⊥NA，且PA＝NA， ∴∠PAD＋∠APD＝∠PAD＋∠NAQ＝90°， ∴∠APD＝∠NAQ， 又∵∠PDA＝∠AQN＝90°， ∴△PAD≌△ANQ(AAS)， ∴PD＝AQ， 即－x－2x＋3＝2， 解得x＝－1(舍去)，x＝－－1， ∴P(－－1，2)； ②∵△ABC的面积为定值， ∴△APC面积最大时，四边形PABC面积最大， ∵S＝×3×3＝，S＝|x|＝－x， S＝×3×|y|＝－x－3x＋， ∴S＝S＋S－S ＝－x－3x＋－x－ ＝－(x＋)＋， ∴当x＝－时，S取得最大值，最大值为， 此时P(－，)， ∴S＝S＋S＝×4×3＋＝， ∴四边形PABC面积的最大值为，此时点P的坐标为(－，)． 3.在直角坐标系xOy中，A(0，2)、B(－1，0)，将△ABO经过旋转、平移变化后得到如图所示的△BCD. (1)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式； (2)连接AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将△ABC的面积分成1∶3两部分，求此时点P的坐标； (3)现将△ABO、△BCD分别向下、向左以1∶2的速度同时平移，求出在此运动过程中△ABO与△BCD重叠部分面积的最大值． 第3题图 解：(1)∵A(0，2)、B(－1，0)，将△ABO经过旋转、平移变化得到△BCD， ∴BD＝OA＝2，CD＝OB＝1，∠BDC＝∠AOB＝90°， ∴C， 设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y＝a＋bx＋c， 则，解得， ∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝－＋x＋2； (2)如解图①，设直线PC与AB交于点E， ∵直线PC将△ABC的面积分成1∶3两部分， 第3题解图① ∴＝或＝3， 过点E作EF⊥OB于点F，则EF∥OA， ∴△BEF∽△BAO， ∴， ∴当＝时，＝＝， ∴EF＝，BF＝， ∴点E的坐标为(－，)． 设直线PC的解析式为y＝mx＋n， 由E，C两点坐标可求得其解析式为y＝－x＋， ∴－x＋x＋2＝－x＋， ∴x＝ ... ...
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