第四讲 大题考法———圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 题型(一) 定点问题 主要考查直线、曲线过定点或两条直线的交点在定曲线上. [典例感悟] [典例1] (2018·宁波“十校”高三5月联考)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P为椭圆E上一点．点A，B为椭圆E的上下顶点，动点M在第一象限内且坐标为(m,2)，过M作直线MA，MB分别交椭圆E于C，D两点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)问直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． [解] (1)由e＝＝，a2＝b2＋c2，得a＝2b.① 把代入椭圆方程，得＋＝1.② 联立①②，解得a＝2，b＝1， ∴椭圆E的标准方程为＋y2＝1. (2)由题意知，A(0,1)，B(0，－1)，则直线MA的方程为y＝＋1，直线MB的方程为y＝－1， 联立 得xC＝，xD＝， ∴C，D， ∴kCD＝＝，则直线CD的方程为y－＝， 即y＝x＋， ∴直线CD过定点. [备课札记] [方法技巧] 动线过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)． (2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． [演练冲关] 1.如图，过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的点A(2,1)作斜率分别为k1，k2的直线，分别交抛物线E于B，C两点． (1)求抛物线E的标准方程和准线方程； (2)若k1＋k2＝k1k2，证明：直线BC恒过定点． 解：(1)设抛物线E的标准方程为x2＝ay，a>0， 将A(2,1)代入得，a＝4. 所以抛物线E的标准方程为x2＝4y，准线方程为y＝－1. (2)证明：由题意得，直线AB的方程为y＝k1x＋1－2k1，直线AC的方程为y＝k2x＋1－2k2， 联立 消去y得x2－4k1x－4(1－2k1)＝0， 解得x＝2或x＝4k1－2， 因此点B(4k1－2，(2k1－1)2)， 同理可得C(4k2－2，(2k2－1)2)． 于是直线BC的斜率 k＝ ＝＝k1＋k2－1，又k1＋k2＝k1k2， 所以直线BC的方程为y－(2k2－1)2＝(k1k2－1)·[x－(4k2－2)]， 即y＝(k1k2－1)x－2k1k2－1＝(k1k2－1)(x－2)－3. 故直线BC恒过定点(2，－3)． 题型(二) 定 值 问 题 主要以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，考查转化与化归思想和对定值问题的处理能力，常涉及式子、面积的定值问题. [典例感悟] [典例2] 已知抛物线C：y2＝2px(p>1)上的点A到其焦点的距离为，且点A在曲线x＋y2－＝0上． (1)求抛物线C的方程； (2)M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线C上异于原点的两点，Q(x0，y0)是线段MN的中点，点P是抛物线C在点M，N处切线的交点，若|y1－y2|＝4p，证明△PMN的面积为定值． [解] (1)设点A(xA，yA)， ∵点A到抛物线焦点的距离为， ∴xA＝－，y＝2pxA＝2p， 又点A在曲线x＋y2－＝0上， ∴－＋2p－＝0， 即p2－p＋1＝0，解得p＝2或p＝(舍去)， ∴抛物线C的方程为y2＝4x. (2)证明：由(1)知M，N，|y1－y2|＝8，设抛物线C在点M处的切线的斜率为k(k≠0)，则该切线的方程为y－y1＝k， 联立方程得消去x，整理得 ky2－4y＋4y1－ky＝0， ∵M是切点，∴Δ＝16－4k(4y1－ky)＝0， 即4－4ky1＋k2y＝0，解得k＝， ∴直线PM的方程为y－y1＝， 即y＝x＋， 同理得直线PN的方程为y＝x＋， 联立方程得解得 ∴P， ∵Q是线段MN的中点，∴y0＝， ∴PQ∥x轴，且x0＝＝， ∴△PMN的面积S＝|PQ|·|y1－y2|＝·|y1－y2|＝·|y1－y2|＝|y1－y2|3＝32， 即△PMN的面积为定值． [备课札记] [方法技巧] 求解定值问题的两大途径 (1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关． (2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值． [演练冲 ... ...
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