预习课本P54～59，思考并完成以下问题 (1)最小二乘法的概念是什么？ (2)线性回归方程的概念是什么？ (3)如何计算线性回归方程的系数a和b? 1．最小二乘法 (1)定义：如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近程度：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2.使得上式达到最小值的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法． (2)应用：利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图．如果散点图呈现出线性关系，可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合． 2．线性回归方程 用表示，用表示， 由最小二乘法可以求得 b＝，a＝－b ，这样得到的直线方程y＝a＋bx称为线性回归方程，a，b是线性回归方程的系数． [点睛] 由a＝－b可知，回归直线一定经过点(，)，因此点(，)通常称为样本点的中心． 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用最小二乘法求出的回归系数b可能是正的，也可能是负的．( ) (2)用最小二乘法求出的系数可以使回归直线更贴近实际情况．( ) (3)若回归系数b是负的，则y的值随x的增大而减小．( ) (4)根据最小二乘法求出回归系数，从而可以表示出线性回归方程，这个方程可以准确表示每一个数据．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 2．在最小二乘法中，用来刻画各样本点到直线y＝a＋bx“距离”的量是( ) A．|yi－| B．(yi－)2 C．|yi－(a＋bxi)| D．[yi－(a＋bxi)]2 解析：选D 最小二乘法的定义明确给出，用[yi－(a＋bxi)]2来刻画各个样本点与这条直线之间的“距离”(即二者之间的接近程度)，用它们的和表示这些点与这条直线的接近程度． 3．线性回归方程y＝a＋bx表示的直线必定过( ) A．(0,0)点 B．(，0)点 C．(0，)点 D．(，)点 解析：选D 回归系数a，b有公式a＝－b，即＝a＋b，所以直线y＝a＋bx必定过(，)点． 4．在一次实验中，测得(x，y)的四组值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x之间的线性回归方程为( ) A．y＝x＋1 B．y＝x＋2 C．y＝2x＋1 D．y＝x－1 解析：选A 法一：易知在直角坐标系中这四个点都在直线y＝x＋1上． 法二：因为＝＝2.5，＝3.5，而回归直线必过点(，)，所以把点(2.5,3.5)代入各个选项检验可知选A. 求线性回归方程 [典例] 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验，测得数据如下： 零件数/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间/分 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 请判断其是否具有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求线性回归方程． [解] 在直角坐标系中画出数据的散点图，如图所示． 观察判断出散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．由测得的数据列表如下： i xi yi x xiyi 1 10 62 100 620 2 20 68 400 1 360 3 30 75 900 2 250 4 40 81 1 600 3 240 5 50 89 2 500 4 450 6 60 95 3 600 5 700 7 70 102 4 900 7 140 8 80 108 6 400 8 640 9 90 115 8 100 10 350 10 100 122 10 000 12 200 合计 550 917 38 500 55 950 平均 55 91.7 3 850 5 595 b＝＝≈0.668， a≈－b＝91.7－0.668×55＝54.96. 所以线性回归方程为y＝54.96＋0.668x. 求线性回归方程的技巧和注意点 (1)求解线性回归方程时，需要进行复杂的计算，采用列表法会使计算进行得更有条理．表格可以参考如下方法设计： i xi yi x xiyi 1 2 3 … n 合计 平均 将需要计算的量列在表格中，再按照公式求解线性回归方程即可． (2)若已知变量x，y成线性相关关系，无需检验相关性即可求解线性回归方程，否则需要根据散点图判断变 ... ...
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