2019年数学人教B版选修2-2新设计同步（讲义+课件+课时跟踪检测）： 第一章 章末小结 知识整合与阶段检测

知识整合与阶段检测 /[对应学生用书P30] 一、导数的概念和几何意义 1．导数的概念 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝li . [说明]　 (1)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是一个常数，而函数y＝f(x)在一个区间上的导数指的是这个函数在这个区间上每点处的导数构成的一个函数，它实际上是“导函数”的简称； (2)函数y＝f(x) 和它的导数y′＝f′(x)具有相同的定义域，并且y′＝f′(x)在定义域上点x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x0处的导数值，这样求函数在点x0处的导数值就可以先求出这个函数的导数，再求这个导数在点x0处的函数值； (3)并不是所有的函数在其定义域上每一点处都有导数，如函数y＝|x|在点0处就没有导数，但这个函数在定义域的其他点处都有导数． 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)． 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得 y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)．① 又y1＝f(x1)，② 由①②求出x1，y1的值， 即求出了过点P(x0，y0)的切线方程． 二、导数的运算 1．导数的四则运算法则 导数的四则运算法则主要指和、差、积、商的导数计算法则，即和的导数：(u＋v)′＝u′＋v′，差的导数：(u－v)′＝u′－v′，积的导数：(uv)′＝u′v＋uv′，商的导数：()′＝(v≠0)． 2．常用函数的导数 除掌握好导数的四则运算法则外还需要牢记一些常用函数的导数，以提高解题效率．常见的有以下8个：①c′＝0(c为常数)，②(xn)′＝nxn－1(n∈Q)，③(sin x)′＝cos x，④(cos x)′＝－sin x，⑤(ln x)′＝，⑥(logax)′＝，⑦(ex)′＝ex，⑧(ax)′＝axln a. 3．复合函数的求导法则 设复合函数μ＝g(x)在点x处可导，y＝f(μ)在点μ处可导，则复合函数f(g(x))在点x处可导，且f′(x)＝f′(μ)·g′(x)，即yx′＝yμ′·μx′.利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量． [说明]　求导数时，先化简再求导是导数计算的基本原则．一般情况下，有四类函数求导数在解题时较容易出错，需要特别注意，即分式函数、对数函数、三角函数和复合函数． 三、导数的应用 1．导数与函数的单调性 (1)在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． [说明]　f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，∴f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件． (2)利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为： ①求导数f′(x)； ②解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； ③确定并指出函数的单调增区间、减区间． 特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接． 2．导数与函数的极值和最值 函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质；函数的最值是个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小值． (1)应用导数求函数极值的一般步骤： ①确定函数f(x)的定义域； ②解方程f′(x)＝0的根； ③检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点． [说明]　可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0 ... ...