2019年数学人教B版必修4新设计同步（讲义+课件+课时跟踪检测）：第三章 3.1 3.1.1 两角和与差的余弦

　 3．1.1　两角和与差的余弦 　预习课本P133～134，思考并完成以下问题 (1)如何用α的三角函数与β的三角函数表示cos(α－β)，cos(α＋β)? 　 (2)两角和与差的余弦公式是如何推导的？ 　 　  两角和与差的余弦公式 名称 公式 简记符号 两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β Cα＋β 两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β Cα－β [点睛]　公式的左边是和(差)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的差(和)式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．  1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.(　　) (2)对于任意实数α，β，cos(α＋β)＝cos α＋cos β都不成立．(　　) (3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为(　　) A.　　　　　　　 　B. C. D. 答案：A 3．设α∈，若sin α＝，则cos等于(　　) A.　　　 B. C．－ D．－ 答案：B 4．化简＝_____. 答案： 给角求值问题 [典例]　　求下列各式的值． (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； (2)sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°； (3)cos 15°＋sin 15°. [解]　(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°) ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝. (2)原式＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋73°)·sin(360°－47°)＝－sin 17°sin 43°＋sin 73°sin 47°＝－sin 17°sin 43°＋cos 17°cos 43°＝cos 60°＝. (3)∵＝cos 60°，＝sin 60°， ∴cos 15°＋sin 15° ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15° ＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝. 利用公式C(α＋β)，C(α－β)求值的方法技巧 在利用两角和与差的余弦公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差)，正用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．　 [活学活用] 　 计算下列各式的值： (1)cos 55°cos 20°－sin 55°sin 20°； (2)coscos θ＋sinsin θ. 解：(1)cos 55°cos 20°－sin 55°sin 20°＝cos 75° ＝cos(45°＋30°) ＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝×－×＝. (2)coscos θ＋sinsin θ ＝cos＝cos＝. 给值求值问题 [典例]　(1)已知α∈，β是第三象限角，sin α＝，cos β＝－.求cos(α＋β)的值． (2)已知cos α＝，cos(α＋β)＝，且α，β均为锐角，求cos β的值． [解]　(1)∵α∈，sin α＝， ∴cos α＝－＝－ ＝－. ∵β是第三象限角，cos β＝－， ∴sin β＝－＝－ ＝－， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－×＝. (2)∵α，β均为锐角， ∴0<α＋β<π，∴sin(α＋β)>0. 由cos α＝，cos(α＋β)＝， 得sin α＝，sin(α＋β)＝. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝×＋×＝. 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①α＝(α－β)＋β； ②α＝＋； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β)．　　　　　　 [活学活用] 1．已知cos θ＝－，θ∈，则cos的值为_____． 解析：∵cos θ＝－，θ∈， ∴sin θ＝－ ＝－  ＝－， ∴cos＝ ... ...