1．3.2 函数的极值与导数 预习课本P26～29，思考并完成下列问题 (1)函数极值点、极值的定义是什么？ (2)函数取得极值的必要条件是什么？ (3)求可导函数极值的步骤有哪些？ 1．函数极值的概念 (1)函数的极大值 一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点． (2)函数的极小值 一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点．极大值与极小值统称为极值． [点睛] 如何理解函数极值的概念 (1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值． (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个． (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系． (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． (5)单调函数一定没有极值． 2．求函数y＝f(x)极值的方法 一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是： 解方程f′(x)＝0. 当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值． [点睛] 一般来说，“f′(x0)＝0”是“函数y＝f(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数y＝f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么f′(x0)＝0；反之，若f′(x0)＝0，则点x0不一定是函数y＝f(x)的极值点． 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( ) (3)函数f(x)＝有极值．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× 2．下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x，其中在x＝0处取得极小值的是( ) A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 答案：B 3．已知函数y＝|x2－1|，则( ) A．y无极小值，且无极大值 B．y有极小值－1，但无极大值 C．y有极小值0，极大值1 D．y有极小值0，极大值－1 答案：C 4. 函数f(x)＝x＋2cos x在上的极大值点为( ) A．0 B. C. D. 答案：B 运用导数解决函数的极值问题 题点一：知图判断函数的极值 1．已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( ) A．在(－∞，0)上为减函数 B．在x＝0处取极小值 C．在(4，＋∞)上为减函数 D．在x＝2处取极大值 解析：选C 由导函数的图象可知：x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以x＝0取得极大值，x＝2取得极小值，x＝4取得极大值，因此选C. 题点二：已知函数求极值 2．求函数f(x)＝x2e－x的极值． 解：函数的定义域为R， f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′ ＝2xe－x－x2·e－x ＝x(2－x)e－x. 令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0， 解得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ? 极小值0 ? 极大值4e－2 ? 因此当x＝0时，f(x)有极小值， 并且极小值为f(0)＝0； 当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝. 题点三 已知函数的极值求参数 3．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．(0，＋∞) C．(0,1) D．(－1,0) 解析 ... ...
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