2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第二章 2.2 2．2.1　对数的概念和运算律

2．2对数函数 2．2.1　对数的概念和运算律 对数的概念 1．对数及相关概念 如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN.这里，a叫作对数的底，N叫作对数的真数． 2．对数恒等式 (1)alogaN＝N. (2)b＝logaab. 把下列各等式化为相应的对数式或者指数式． (1)53＝125； (2)－2＝16； (3)log8＝－3. [提示]　利用指数式与对数式间的等价关系． (1)∵53＝125，∴log5125＝3. (2)∵－2＝16，∴log16＝－2. (3)∵log8＝－3，∴－3＝8. 对数的运算法则 (1)计算下列各式的值： ①log24，log28，log232， ②log39，log327，log334. (2)你发现，log232＝log2(4×8)＝_____. log3(9×27)＝_____. (3)若logaM＝x，logaN＝y，其中a>0且a≠1，M，N>0，你可以猜想loga(MN)＝_____. (4)同类似的方法，你可以猜想loga，logaMn各等于什么吗？若你能肯定你的猜想正确，你能给出推理证明吗？ 对数的运算性质： 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN， (2)logaMn＝nlogaM， (3)loga＝logaM－logaN. 1．logab＝1成立的条件是(　　) A．a＝b　　　　　　　 B．a＝b且b>0 C．a>0且a≠1 D．a>0，a＝b≠1 [提示]　D 2．判断下列各式的正误并说明理由： (1)lg[(－8)×(－3)]＝lg(－8)＋lg(－3)； (2)log2(4＋8)＝log24·log28； (3)log525＝log552＝(log55)2. [提示]　(1)，(2)，(3)均不正确，(1)是真数小于零没有意义，(2)(3)是使用运算性质不正确. 常用对数和自然对数 (1)以10为底的对数称为常用对数，以e为底的对数称为自然对数． (2)为了方便通常将常用对数和自然对数简写为： log10N＝lgN，logeN＝lnN. 用对数表示下列关系式中的x. (1)2x＝32；(2)x＝8；(3)ex＝8.27；(4)10x＝1 000. [提示]　(1)x＝log232；(2)x＝log8；(3)x＝ln8.27； (4)x＝lg1 000. 指数式与对数式的互化 [例1]　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)43＝64；(2)3－2＝；(3)－3＝64； (4)log216＝4；(5)log27＝－3；(6)logx＝6. [思路点拨]　依据ax＝N?x＝logaN进行转化． [解]　(1)log464＝3. (2)log3＝－2. (3)log64＝－3. (4)24＝16. (5)－3＝27. (6)()6＝x. 借题发挥 (1)对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图． (2)在指数式ab＝N中，若已知a，N，求幂指数b，便是对数运算b＝logaN. 　　 1．若logx＝z，则(　　) A．y7＝xz　　　　　　　　 B．y＝x7z C．y＝7xz D．y＝z7x 解析：选B　logx＝z?xz＝?y＝(xz)7＝x7z. 对数的概念与基本性质的应用 [例2]　求下列各式中x的值． (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lgx)＝1； (3)x＝log27；(4)x＝log16. [思路点拨]　解答时，可利用对数的性质求解． [解]　(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5. (2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1 000. (3)由x＝log27，得27x＝，∴33x＝3－2，∴x＝－. (4)由x＝log16，得x＝16， ∴2－x＝24，∴x＝－4. 借题发挥 (1)有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算． (2)求解简单对数方程可利用对数定义化为指数式求解. 　　 2．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.求·y的值． 解：∵log2(log3(log4 x))＝0， ∴log3(log4 x)＝1， ∴log4x＝3，∴x＝43＝64. 由log4(log2y)＝1，知log2y＝4， ∴y＝24＝16. 因此·y＝×16＝8×8＝64. 对数的运算性质的应用 [例3]　计算或化简下列各式． (1)log3＋lg25＋lg4＋7＋(－9.8)0； (2)lg52＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2； (3)loga－loga＋loga(a>0且a≠1)． [思路点拨]　利用积、商、幂的对数的运算法 ... ...