2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第3章 3.2.2 同角三角函数之间的关系

3．2.2　同角三角函数之间的关系 同角三角函数关系 1．在单位圆中，设角α的终边与单位圆交于P点，作出正弦线DP，余弦线OD，在Rt△ODP中，DP，OD与OP满足怎样的关系式？ 2．根据sin α＝，cos α＝，tan α＝，你能发现sin α，cos α，tan α满足什么关系？ 同角三角函数的基本关系式 平方关系 商数关系 sin2α＋cos2α＝1 tan α＝ 1．已知sin α＝，并且α是第二象限的角，求cos α，tan α的值． [提示]　cos α＝－，tan α＝－. 2．已知sin α＝，如何求tan α？ [提示]　tan α＝±. 已知角的一个三角函数值求另两个三角函数值 [例1]　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． [思路点拨]　根据同角三角函数的基本关系式求解． [边听边记]　∵cos α<0且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角． 当α为第二象限角时， sin α＝ ＝ ＝， tan α＝＝－. 当α为第三象限角时， sin α＝－＝－ ＝－， tan α＝＝. 借 题 发 挥 (1)已知某个三角函数值，要求其余的三角函数值，常用方法是由同角间的三角函数关系来求解．在具体解题时，要根据条件，选择恰当的公式作为切入点． (2)若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论，有两组结果. 　　 1．已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 解：由tan α＝＝，得sin α＝cos α. ① 又sin2α＋cos2α＝1， ② 由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝. 又α在第三象限， ∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－. 三角齐次式求值 [例2]　设tan α＝2，求下列各式的值： (1)； (2)2sin2α－3sin αcos α＋5cos2α. [思路点拨]　由正切求弦函数值，可考虑利用商数关系． 由于tan α＝2，故cos α≠0，可同除cos α整体求值． [边听边记]　法一：∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α. (1)＝ ＝＝＝3. (2)2sin2α－3sin αcos α＋5cos2α ＝2(2cos α)2－6cos α·cos α＋5cos2α ＝7cos2α＝ ＝＝＝. 法二：∵tan α＝2≠0， ∴(1) ＝ ＝ ＝＝＝3. (2)2sin2α－3sin αcos α＋5cos2α ＝ ＝ ＝＝. 借 题 发 挥 1.已知tan α的值，求关于sin α，cos α的齐次式的值问题，可转化为关于tan α的表达式，整体代入求值． 2.已知tan α的值，求形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的值，注意将分母的1化为sin2α＋cos2α，从而化成分式结构同除cos2α可求. [变式之作] 　在本例条件下，如何求sin αcos α的值． 解：sin αcos α＝＝＝. 化简与证明问题 [例3]　(1)化简：； (2)求证：＝. [思路点拨]　(1)利用“1”的代换可化简． (2)可从左→右或右→左去证明． [边听边记]　(1)原式 ＝ ＝ ＝ ＝1. (2)证明：左边＝ ＝，右边＝＝， ∴左边＝右边，∴等式成立. 借题 发挥 利用同角三角函数关系进行化简与证明要注意三角变换的使用技巧，如“1”的代换，“切化弦”、“弦化切”等. 2．化简： ＋ . 解：原式＝ ＋  ＝＋. ∵α∈，∴∈. ∴cos－sin>0，sin＋cos>0， ∴上式＝cos－sin＋cos＋sin＝2cos. 利用sin α±cos α与sin α，cos α的关系解题 [例4]　已知x是第三象限角，且cos x－sin x＝. (1)求cos x＋sin x的值； (2)求2sin2x－sin xcos x＋cos2x的值． [思路点拨]　(1)(cos x－sin x)2→sin xcos x→(cos x＋sin x)2→求得答案． (2)联立方程组求得sin x，cos x→代值求得答案． [边听边记]　(1)∵(cos x－sin x)2＝1－2sin xcos x＝， ∴2sin xcos x＝， ∴(cos x＋sin x)2＝1＋2sin xcos x＝. ∵x是第三象限角，∴cos x＋sin x＝－. (2)由(1)，得 解得 ∴2sin2x－sin xcos x＋cos2x＝22－＋2＝. 借 题 发 挥 已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的 ... ...