2019年数学湘教版选修2-2新设计同步（讲义）：第4章 4.2 导数的运算

4．2导数的运算 [读教材·填要点] 1．求导公式 (1)几个幂函数的导数： 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ (2)基本初等函数的导数公式： 原函数 导函数 f(x)＝xα(α≠0) f′(x)＝α·xα－1 f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ln x(x＞0) f′(x)＝ f(x)＝logax(a＞0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝tan x f′(x)＝ 2．求导法则 (1)(cf(x))′＝cf′(x)； (2)(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)， (f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)； (3)(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (4)′＝－(f(x)≠0)； (5)′＝(f(x)≠0)； (6)若y＝f(u)，u＝g(x)，则yx′＝yu′·ux′. [小问题·大思维] 1．下面的计算过程正确吗？ ′＝cos＝. 提示：不正确．因为sin＝是一个常数， 而常数的导数为零，所以′＝0. 若函数f(x)＝sin x，则f′＝. 2．若f(x)，g(x)都是可导函数，且f(x)≠0，那么下列关系式成立吗？ (1)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数)； (2)′＝－(a为常数)． 提示：由导数的运算法则可知，这两个关系式都正确． 3．函数y＝ln(2x＋1)的导函数是什么？ 提示：y＝ln(2x＋1)是由函数y＝ln u和u＝2x＋1复合而成的， ∴yx′＝yu′·ux′＝·(2x＋1)′＝＝. 应用导数公式求导数 求下列函数的导数： (1)y＝10x；(2)y＝lg x－；(3)y＝logx； (4)y＝；(5)y＝2－1. [自主解答]　(1)y′＝(10x)′＝10xln 10. (2)y′＝′＝(lg x)′－′＝＋. (3)y′＝(logx)′＝＝－. (4)y′＝()′＝(x)′＝x－＝ . (5)∵y＝2－1 ＝sin2＋2sincos＋cos2－1＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x. 求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式． 1．求下列函数的导数： (1)y＝x； (2)y＝x； (3)y＝lg 5；(4)y＝3lg； (5)y＝2cos2－1. 解：(1)y′＝′＝xln＝－＝－e－x. (2)y′＝′＝xln＝ ＝－10－xln 10. (3)∵y＝lg 5是常数函数， ∴y′＝(lg 5)′＝0. (4)∵y＝3lg＝lg x， ∴y′＝(lg x)′＝. (5)∵y＝2cos2－1＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x. 利用导数运算法则求导数 求下列函数的导数． (1)y＝x·tan x；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝；(4)y＝xsin x－； (5)y＝e3x；(6)y＝5log2(2x＋1)． [自主解答]　(1)y′＝(x·tan x)′＝′ ＝ ＝＝. (2)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′ ＝3x2＋12x＋11. (3)y′＝＝. (4)y′＝(xsin x)′－′＝sin x＋xcos x－. (5)函数y＝e3x可以看成函数y＝eu和函数u＝3x的复合函数． ∴yx′＝yu′·ux′＝(eu)′·(3x)′＝3eu＝3e3x. (6)函数y＝5log2(2x＋1)可以看成函数y＝5log2u和函数u＝2x＋1的复合函数． ∴yx′＝yu′·ux′＝5(log2u)′·(2x＋1)′＝＝. (1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导． (2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导． (3)对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解—求导—回代”，即：①弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；②利用求导法则分层求导；③最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第③步回代的过程． 2．求下列函数的导数： (1)y＝2xcos x－3xlog2x；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)； (3)y＝；(4)y＝； (5)y＝；(6)y ... ...