2019年数学湘教版选修2-1新设计同步（讲义）：第2章 2．3.2　抛物线的简单几何性质

2．3.2　抛物线的简单几何性质 第一课时　抛物线的简单几何性质 [读教材·填要点] 抛物线的几何性质 类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py (p>0) 图象 性质 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点 O(0,0) 离心率 e＝1 开口方向 向右 向左 向上 向下 [小问题·大思维] 1．抛物线y2＝2px(p>0)有几条对称轴？是否是中心对称图形？ 提示：有一条对称轴，即x轴，不是中心对称图形． 2．抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫作焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫作焦点弦，若P(x0，y0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据上述定义，你能完成以下表格吗？ 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 焦半径|PF| |PF|＝____ |PF|＝____ |PF|＝____ |PF|＝____ 焦点弦|AB| |AB|＝____ |AB|＝____ |AB|＝____ |AB|＝____ 提示： 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 焦半径|PF| |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0 |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0 焦点弦|AB| |AB|＝x1＋x2＋p |AB|＝p－x1－x2 |AB|＝y1＋y2＋p |AB|＝p－y1－y2 抛物线方程及其几何性质 已知顶点在原点，以x轴为对称轴，且过焦点垂直于x轴的弦AB的长为8，求出抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程． [自主解答]　当焦点在x轴的正半轴上时， 设方程为y2＝2px(p>0)． 当x＝时，y＝±p， 由|AB|＝2p＝8，得p＝4. 故抛物线方程为y2＝8x， 焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2. 当焦点在x轴的负半轴上时， 设方程y2＝－2px(p>0)． 由对称性知抛物线方程为y2＝－8x， 焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2. 用待定系数法求抛物线的标准方程，其主要步骤为： 1．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程． 解：由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)， 焦点F，直线l：x＝， ∴A，B两点坐标为，. ∴|AB|＝2|p|. ∵△OAB的面积为4， ∴··2|p|＝4. ∴p＝±2. ∴抛物线方程为y2＝±4x. 抛物线几何性质的应用 已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程． [自主解答]　∵|OA|＝|OB|， ∴设A，B坐标分别为A(x0，y0)，B(x0，－y0)． ∵△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F， ∴kFA·kOB＝－1， 即·＝－1， ∴y＝x0＝2px0(x0＞0，p＞0)． ∴x0＝p.∴直线AB的方程为x＝p. 若将“△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点”改为“OA⊥OB”，求|AB|的值． 解：由题意知，△AOB为等腰直角三角形，且A，B两点关于x轴对称． 如图，设A(x0，y0)，则kOA＝＝1且y＝2px0， ∴x0＝y0＝2p， ∴|AB|＝2y0＝4p. 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件．本题的关键是根据抛物线的对称性可知线段AB垂直于x轴．故求直线AB的方程时求出A的横坐标即可． 2．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，且OA的方程为y＝2x，|AB|＝5，求抛物线的方程． 解：∵OA⊥OB，∴△AOB为直角三角形． ∵OA所在直线为y＝2x， ∴OB所在直线方程为y＝－x. 由得A点坐标. 由得B点坐标为(8p，－4p)． ∵|AB|＝5， ∴ ＝5. ∵p>0，解得p＝， ∴所求抛物线方程为y2＝x. 抛物线中过焦点的弦长问题 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，求AB的中点M到抛物线准线的距离． [自主解答]　抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知 |AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p， ... ...